En algèbre, le but cherché par l’emploi des imaginaires, est la généralisation des formules ; après avoir été conduit, dans cet ordre d’idées, tout d’abord à attribuer une existence fictive à des fonctions de variables réelles, alors que pour les valeurs considérées de ces variables ces fonctions n’existent pas en fait, on est entraîné, en suite de la convention admise, à attribuer aux variables elles-mêmes cette existence fictive, et nous avons vu comment cela revient à étudier les variations de deux groupes binaires de quantités réelles liées entre elles par deux équations. Mais, jusqu’à présent au moins, on n’a pas senti la nécessité d’aller plus loin et de considérer des groupes ternaires ou quaternaires.
En géométrie, le problème est tout autre et les besoins différents. Les quantités réelles ne permettent de représenter que les valeurs absolues des droites et au plus leur sens, d’après la convention faite pour les quantités négatives ; il s’agit de représenter également leur direction. À cet effet, pour les questions de géométrie plane, on prendra les projections , sur deux axes coordonnés d’une droite, si elle part de l’origine par exemple, et on conviendra de les unir par le signe après avoir mis en facteur de l’une d’elles, soit , un facteur irréductible dans les sommations ordinaires, et dont la présence dans le complexe fera distinguer par suite, sans ambiguïté, la valeur de chacune des deux projections, dont la connaissance suffit pour déterminer complètement la droite.
En poursuivant cette représentation, on convient également d’adopter pour le produit de deux droites une signification telle qu’il en résulte la condition : .
Dès lors on a établi entre le symbolisme conventionnel géométrique et le symbolisme conventionnel algébrique, une nouvelle correspondance, analogue à celle qui a lieu pour le symbolisme des quantités réelles, positives ou négatives ; mais cette correspondance nouvelle ne doit pas faire illusion ; elle n’était pas nécessaire a priori, puisque les conventions en géométrie et en algèbre sont à la fois arbitraires et indépendantes les unes des autres ; bien plus, elle ne se poursuit pas pour les trois dimensions de l’espace.
Là en effet, dans le calcul des quaternions, à la suite de conventions analogues pour la représentation de la direction des droites, on doit avoir également — 1 pour le carré des cofficients , afférents aux trois axes coordonnés et d’ailleurs irréductibles entre eux par voie de sommation.
On distingue donc là, en prenant les valeurs positives et négatives de ces coefficients, six racines imaginaires de l’unité négative, tandis
