Au surplus, il arrive souvent, en géométrie, qu’on préfère définir ainsi une ligne en deux fois comme la ligne droite ; en voici un exemple très simple.
Un point et une droite fixes étant donnés dans un plan, considérons un point mobile dans ce plan et prenons ses distances au point fixe et à la droite fixe ; on appelle conique la ligne engendrée par ce point mobile quand le rapport des deux distances en question reste fixe ; ce rapport est l’excentricité de la conique. Rappelons que les trajectoires des planètes autour du soleil sont des courbes de ce genre.
Lorsque l’excentricité de la conique est égale à l’unité, la conique s’appelle une parabole.
Or il est évident que nous définissons ainsi la parabole en deux fois ; d’abord c’est une conique, et ensuite une conique remplissant une condition particulière.
De même la droite euclidienne est, parmi les lignes jouissant de la propriété a, une ligne particulière, celle qui jouit de la propriété b.
C’est qu’il est en effet démontré aujourd’hui qu’il existe une ligne plus générale que la droite euclidienne et définie par la seule propriété a ; nous voulons dire par là que la ligne jouissant de la propriété a peut servir de base à une géométrie générale où la déduction se poursuit indéfiniment sans donner lieu à aucune contradiction.
On a appelé cette géométrie non euclidienne par opposition à l’ancienne géométrie d’Euclide : nous préférons la désigner sous le nom de géométrie générale, puisque, loin d’être la négation de la géométrie euclidienne, elle comprend cette dernière comme cas particulier : nous appellerons de même droite générale la ligne définie par la propriété a et droite euclidienne la ligne définie par les propriétés a et b réunies.
Ceci posé, rappelons ce qu’est en géométrie un paramètre.
Nous avons défini plus haut une conique à l’aide de trois éléments, un point fixe qu’on nomme foyer, une droite fixe qui est la directrice et un rapport constant que nous avons appelé l’excentricité de la conique. Si, conservant les mêmes foyer et directrice, nous faisons varier l’excentricité, nous obtenons une série de coniques, puisqu’à chaque valeur de l’excentricité correspond une conique : considérée à ce point de vue, l’excentricité variable de cette série de coniques prend le nom de paramètre.
Quand ce paramètre est égal à l’unité, la conique devient une parabole, suivant la définition que nous avons donnée de cette courbe.
