Elle implique une définition de la direction, que beaucoup ne donnent pas et qu’Ueberweg énonce de la manière suivante : « La direction est la relation du lieu d’où part un élément mobile, au lieu où il va. Nous entendons par relation de deux lieux la nature du passage d’un élément géométrique d’un lieu a’ à un autre b’, laquelle découle de la différence entre la situation du lieu b’ à l’égard du lieu a’, et la situation de tous les autres lieux que peut occuper b’ dans son mouvement autour de a’. »
Examinons d’un peu plus près cette définition de la direction.
Un lieu, dit l’auteur, n’est pas identique avec tout autre lieu qui a la même figure : ce par quoi il s’en distingue, c’est sa situation. De là, les expressions : situation à l’égard d’un autre lieu, ou par rapport à un autre lieu. Le point b’ peut être dans une infinité de situations par rapport au point a’ ; ce nombre infini de situations forme une surface sphérique autour de a’. La situation particulière de b’ est déterminée par rapport aux autres situations possibles ; et la nature du passage de a’ vers b’, laquelle dépend de cette situation particulière, est la direction.
Sous toutes ces propositions un peu obscures se cachent plusieurs défauts et même des cercles.
1° La définition de la situation peut être philosophique, mais elle s’est pas géométrique ; car toute idée géométrique demande sa mesure. Sans doute, une figure se distingue d’une autre qui lui est égale, par sa situation ; mais cette distinction est toute négative, c’est-à-dire que l’on ne dit pas en quoi consiste cette différence. Si nous nous figurons dans l’espace deux points a’ et b’, nous voyons bien que b’ a une autre situation que a’ ; mais quelle est cette situation ? Ueberweg ne nous l’apprend pas. En d’autres termes, si nous déplaçons le point b’, comment retrouver sa place antérieure ? Qui ne voit que cela n’est possible que par la direction a’b’ et la distance a’b’, ou tout autre moyen (des coordonnées d’une nature quelconque), qui implique les notions précédentes ou même de plus compliquées ?
2° La situation de b’ peut être différente sans que la direction le soit. Tous les points d’une droite ont des situations différentes, quoiqu’ils soient tous dans la même direction.
3° Ueberweg répond cette situation de b’ est déterminée par rapport aux autres lieux de son mouvement autour de a’. Mais cette détermination est surabondante. En effet, cette situation étant déterminée par rapport à deux de ces lieux sur cette surface sphérique, elle est déterminée par rapport à tous les autres. De manière que, d’après cette définition, pour avoir le point b’ il faut supposer donnés ses rapports avec tous les autres points, et, comme deux de
