surfaces de Riemann, mais nous savons aussi qu’il entre en possession de toute la théorie des fonctions dès qu’il est maître de cette méthode capitale de représentation.
La surface de Riemann nous fournit le moyen de comprendre et de saisir la marche des fonctions multiformes de . Pour cette surface en effet existent aussi des potentiels, analogues à ceux relatifs au plan simplement uni (qui n’est recouvert que d’un feuillet) et dont les propriétés peuvent s’étudier de même ; et la méthode de la représentation conforme n’est pas moins applicable ici. Un principe capital de classification nous est encore donné par l’ordre de connexion des surfaces ; on désigne ainsi le nombre des sections transverses que l’on peut pratiquer sans morceler la surface. C’est là une nouvelle question géométrique que, malgré son caractère élémentaire, personne n’avait songé même à effleurer avant Riemann.
Peut-être suis-je entré dans trop de détails sur ces questions. Aussi n’en ajouterai-je que plus volontiers ceci : ces méthodes, que Riemann a tirées de l’intuition physique pour les appliquer aux Mathématiques pures, sont devenues vice versa de la plus haute importance pour l’étude de la Physique mathématique. Toujours, partout où il s’agit de courants permanents de fluides dans des domaines à deux dimensions, les principes de Riemann sont d’une application générale. De la sorte, toute une série de problèmes des plus intéressants, qui paraissaient autrefois insolubles, se sont trouvés résolus. À ce point de vue, un des exemples les plus célèbres est la détermination, par Helmholtz, de la forme d’un rayon fluide libre. Il y a une autre application, peut-être un peu moins connue, où se trouvent combinés les principes de Riemann de la manière la plus heureuse. Je veux parler de la théorie des surfaces minima.
Les recherches propres de Riemann sur ce sujet parurent en 1867, peu après sa mort, presque au même moment que les recherches parallèles de Weierstrass sur le même sujet. La question, à partir de ce jour, a été étudiée et poussée bien plus loin par Schwarz et d’autres encore. Il s’agit de déterminer la forme des surfaces d’aire
