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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

facile de trouver pour la fonction une expression qui reste toujours valable.

En faisant usage de l’équation

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-nx}x^{s-1}dx={\frac {\prod (s-1)}{n^{s}}}

,

on obtient d’abord

\prod (s-1)\zeta (s)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}dx}{e^{x}-1}}

.

Si maintenant l’on considère l’intégrale

\int {\frac {(-x)^{s-1}dx}{e^{x}-1}}

,

prise dans le sens positif de $+\infty$ à $+\infty$ et autour d’un domaine de grandeurs qui contient à son intérieur la valeur 0, mais qui ne contient aucune autre valeur de discontinuité de la fonction sous le signe d’intégration, on obtient aisément pour la valeur de cette intégrale

(e^{-\pi si}-e^{\pi si})\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}dx}{e^{x}-1}}

,

en faisant l’hypothèse que, dans la fonction multiforme

(-x)^{s-1}=e^{(s-1)\log(-x)}

,

le logarithme de $-x$ est déterminé de telle sorte qu’il soit réel pour $x$ négatif. On aura donc

2\sin \pi s\prod (s-1)\zeta (s)=i\int \limits _{\infty }^{\infty }{\frac {(-x)^{s-1}dx}{e^{x}-1}}

,

l’intégrale étant définie de la manière indiquée ci-dessus.

Cette équation donne maintenant la valeur de la fonction $\zeta (s)\,$ pour chaque valeur complexe de $s$ et nous enseigne que cette fonction est uniforme, qu’elle est finie pour toutes les valeurs finies de $s$ , sauf 1, et aussi qu’elle s’évanouit lorsque $s$ est égal à un entier pair négatif^[1].

Lorsque la partie réelle de $s$ est négative, l’intégrale, au lieu d’être prise dans le sens positif autour du domaine de grandeurs assigné, peut être prise dans le sens négatif autour du domaine de

↑ [Note du trad.] Ce mode d’existence de la fonction $\zeta (s)$ se reconnaît en se servant de la seconde forme de cette fonction
$2\zeta (s)=\pi i\Pi (-s)\int _{\infty }^{\infty }{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x-1}}}\mathrm {d} x$

et en remarquant, en outre, que ${\dfrac {1}{e^{x}-1}}+{\dfrac {1}{2}}$ , dans le développement suivant les puissances ascendantes de $x$ , ne contient que des puissances impaires.

[1] [Note du trad.] Ce mode d’existence de la fonction $\zeta (s)$ se reconnaît en se servant de la seconde forme de cette fonction
$2\zeta (s)=\pi i\Pi (-s)\int _{\infty }^{\infty }{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x-1}}}\mathrm {d} x$

et en remarquant, en outre, que ${\dfrac {1}{e^{x}-1}}+{\dfrac {1}{2}}$ , dans le développement suivant les puissances ascendantes de $x$ , ne contient que des puissances impaires.

[1]