miné de l’autre. Les cas d’exception, dont l’étude est importante,
peuvent être ici laissés de côté. Par là, la détermination de lieu
dans une variété donnée se ramène à une détermination de grandeur,
et à une détermination de lieu dans une variété d’un moindre
nombre de dimensions. Or, il est aisé de faire voir que cette dernière
variété a dimensions, lorsque la variété donnée en a .
En répétant fois ce procédé, la détermination de lieu dans une
variété de dimensions se trouvera donc ramenée à déterminations
de grandeur, et ainsi la détermination de lieu dans une
variété donnée, quand cela est possible, se réduit à un nombre
fini de déterminations de quantité. Toutefois il y a aussi des
variétés dans lesquelles la détermination de lieu exige, non plus
un nombre fini, mais, soit une série infinie, soit une variété continue
de déterminations de grandeur. Telles sont, par exemple,
les variétés formées par les déterminations possibles d’une fonction
dans une région donnée, par les formes possibles d’une
figure de l’espace, etc.
B. — Rapports métriques dont est susceptible une variété de dimensions, dans l’hypothèse où les lignes possèdent une longueur, indépendamment de leur position, et où toute ligne est ainsi mesurable par toute autre ligne.
Après avoir construit le concept d’une variété de dimensions, et trouvé pour caractère essentiel d’une telle variété cette propriété que la détermination de lieu peut s’y ramener à déterminations de grandeur, nous arrivons au second des problèmes posés plus haut, savoir à l’étude des rapports métriques dont une telle variété est susceptible, et des conditions suffisantes pour la détermination de ces rapports métriques. Ces rapports métriques ne peuvent être étudiés que dans des concepts de grandeur abstraits, et leur dépendance ne peut se représenter que par des formules. Dans certaines hypothèses, cependant, ils sont décomposables en rapports qui, pris séparément, sont susceptibles d’une représentation géométrique, et par là il devient possible d’exprimer géométriquement les résultats du calcul. Ainsi, pour arriver à un terrain solide, on ne peut, il est vrai, éviter dans les formules
