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HYPOTHÈSES QUI SERVENT DE FONDEMENT À LA GÉOMÉTRIE.

admises, l’élément linéaire pourra être une fonction homogène quelconque du premier degré des quantités $dx,$ qui restera invariable lorsqu’on changera les signes de toutes les quantités $dx,$ et dans laquelle les constantes arbitraires seront des fonctions continues des quantités $x$. Pour trouver les cas les plus simples, je chercherai d’abord une expression pour les variétés de $n-1$ dimensions qui sont partout équidistantes de l’origine de l’élément linéaire ; c’est-à-dire que je chercherai une fonction continue du lieu qui les distingue les unes des autres. Cette fonction devra ou croître ou décroître dans toutes les directions à partir de l’origine ; j’admettrai qu’elle croisse dans toutes les directions, et qu’ainsi elle ait un minimum à l’origine. Il faut alors, si ses quotients différentiels du premier et du second ordre sont finis, que la différentielle du premier ordre s’annule, et que celle du second ordre ne devienne jamais négative ; j’admettrai qu’elle reste toujours positive. Cette expression différentielle du second ordre reste donc constante, lorsque $ds$ reste constant, et croît dans le rapport des carrés, lorsque les quantités $dx$ et par suite aussi $ds$ varient toutes ensemble dans un même rapport ; elle est donc $={\text{const}}.\times ds^{2},$ et par conséquent $ds=$ la racine carrée d’une fonction entière homogène du second degré, toujours positive, des quantités $dx,$ dans laquelle les coefficients sont des fonctions continues des quantités $x.$ Pour l’espace, si l’on exprime la position du point en coordonnées rectangulaires, on a $ds={\sqrt {\sum (dx)^{2}}}\,;$ l’espace est donc compris dans ce cas le plus simple de tous. Le cas le plus simple après celui-là comprendrait les variétés dans lesquelles l’élément linéaire serait exprimé par la racine quatrième d’une expression différentielle du quatrième degré. L’étude de cette classe plus générale n’exigerait pas des principes essentiellement différents, mais elle prendrait un temps assez considérable, et ne contribuerait pas beaucoup, relativement, à éclaircir la théorie de l’espace, d’autant plus que les résultats ne pourraient s’exprimer géométriquement. Je me bornerai donc aux variétés dans lesquelles l’élément linéaire est exprimé par la racine carrée d’une expression différentielle du second degré. Une telle expression peut être transformée en une autre semblable, en remplaçant les $n$ variables indépendantes par des fonctions de $n$ nouvelles variables indépendantes. Mais on ne pourra pas, par ce moyen,