ces variétés, où l’élément linéaire est représenté par la racine
carrée d’une expression différentielle du second degré, peuvent
ainsi s’exprimer d’une manière tout à fait indépendante du choix
des grandeurs variables. On peut encore, dans ce but, suivre une
marche toute semblable dans le cas des variétés où l’élément
linéaire s’exprime moins simplement, par exemple, au moyen de
la racine quatrième d’une expression différentielle du quatrième
degré. Alors l’élément linéaire ne serait plus, en général, réductible
à la forme de la racine carrée d’une somme de carrés d’expressions
différentielles, et par conséquent, dans l’expression du
carré de l’élément linéaire, l’écart de la planarité serait un infiniment
petit du deuxième ordre, tandis que, dans les variétés considérées
précédemment, cet écart était un infiniment petit du
quatrième ordre. Cette propriété de ces dernières variétés peut
bien être nommée planarité dans les parties infinitésimales. Mais
la propriété de ces variétés, la plus importante pour notre objet
actuel, et la seule en vue de laquelle nous avons étudié ici ces
variétés, est celle qui consiste en ce que les rapports des variétés
de deux dimensions peuvent se représenter géométriquement par
des surfaces, et que ceux des variétés d’un plus grand nombre de
dimensions peuvent se ramener à ceux des surfaces qu’elles renferment.
Cela demande encore une courte explication.
Dans la manière de concevoir les surfaces, aux rapports métriques intrinsèques, dans lesquels on n’a à considérer que les longueurs des chemins tracés sur ces surfaces, se mêle toujours l’idée de leur position relativement aux points placés en dehors d’elles. Mais on peut faire abstraction des rapports extérieurs, lorsqu’on fait subir à ces surfaces des changements tels que les longueurs des lignes qui y sont situées restent invariables, c’est-à-dire lorsqu’on les suppose flexibles sans extension, et que l’on considère comme de même espèce toutes les surfaces ainsi obtenues. Ainsi, par exemple, des surfaces cylindriques ou coniques quelconques seront regardées comme équivalentes à un plan,
