Avant de passer aux applications à l’espace, il faut encore présenter quelques considérations sur les variétés planes en général, c’est-à-dire sur les variétés dans lesquelles le carré de l’élément linéaire peut être représenté par une somme de carrés de différentielles exactes.
Dans une variété plane de dimensions, la mesure de courbure en chaque point et dans chaque direction est nulle ; or, d’après la discussion précédente, il suffit, pour déterminer les rapports métriques, de savoir qu’en chaque point elle est nulle suivant directions superficielles, dont les mesures de courbure sont indépendantes entre elles. Les variétés dont la mesure de courbure est partout peuvent être considérées comme un cas particulier des variétés dont la mesure de courbure est partout constante. Le caractère commun de ces variétés, dont la mesure de courbure est constante, peut aussi s’exprimer en disant que les figures peuvent s’y mouvoir sans subir d’extension. Car il est évident que les figures ne pourraient y être susceptibles de translations et de rotations arbitraires, si la mesure de courbure n’était la même en chaque point et dans toutes les directions. Mais, d’autre part, les rapports métriques de la variété sont complètement déterminés par la mesure de courbure ; donc les rapports métriques autour d’un point et dans toutes les directions sont exactement les mêmes qu’autour d’un autre point, et par suite on peut, à partir de ce point, exécuter les mêmes constructions, d’où il s’ensuit que, dans les variétés où la mesure de courbure est constante, on peut donner aux figures une position arbitraire quelconque. Les rapports métriques de ces variétés dépendent seulement de la valeur de la mesure de courbure, et, quant à la représentation analytique, nous remarquerons que, si l’on désigne cette valeur par , on pourra donner à l’expression de l’élément linéaire la forme
