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Cette définition ne stipule aucune loi entre les valeurs isolées de la fonction, c’est évident, car lorsqu’il a été disposé de cette fonction pour un intervalle déterminé, le mode de son prolongement en dehors de cet intervalle reste tout à fait arbitraire

La manière dont la grandeur w dépend de $z$ peut être donnée par une loi mathématique, en sorte que, par des opérations de calcul déterminées, l’on pourra, de chaque valeur de $z$, déduire la valeur correspondante de w.

La possibilité d’ètre déterminées pour toutes les valeurs de $z$, comprises dans un intervalle donné, par la même loi de dépendance, était autrefois attribuée seulement aux fonctions d’une certaine classe (functiones continuœ dans la terminologie d’Euler) ; mais des recherches modernes ont fait voir qu’il existe des expressions analytiques par lesquelles toute fonction continue peut être représentée dans un intervalle donné.

Il est donc indifférent de définir la dépendance de la grandeur $w$ de la grandeur $z$ comme donnée arbitrairement ou bien comme reposant sur des opérations de calcul déterminées. Les deux définitions sont équivalentes par suite des théorèmes auxquels nous venons de faire allusion.

Mais il en est autrement lorsque la variabilité de la grandeur $z$ n’est pas limitée aux valeurs réelles, et que l’on admet aussi des valeurs complexes de la forme $x+yi$ (où $i={\sqrt {-1}}$).

Soient

$x+yi$ et $x+yi+dx+dyi$

deux valeurs de la grandeur $z$ qui diffèrent infiniment peu entre elles et auxquelles correspondent les valeurs

$u+i$ et $u+vi+du+dvi$

de la grandeur $w$.

Or, lorsque la dépendance de la grandeur $w$ de $z$ est prise arbitrairement, le rapport ${\frac {du+dvi}{dx+dyi}}$ variera, d’une manière générale, avec les valeurs de $dx$ et $dy$, car, si l’on pose

$dx+dyi=\epsilon e^{\varphi i}$,