6 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. quelconques de dx et dy aura la même valeur au seul cas où Ces conditions sont, par conséquent, nécessaires et suffisantes pour que w — u H- Ci soit une fonction de z = x -hyi-Pour les termes séparés de cette fonction, de ces conditions l’on déduit les suivantes
r)- u à- u é’2 v à- v
dx"1 ^ dy2 °’ dx2 àf2
qui forment la base pour l’étude des propriétés qui se rapportent à l’un des deux termes d’une telle fonction considéré séparément. Nous ferons suivre la démonstration des plus importantes de ces propriétés par une étude plus approfondie de la fonction complète ; mais, auparavant, pour aplanir le terrain de ces recherches, nous examinerons et nous établirons quelques points appartenant à des domaines plus généraux.
§ v.
Dans les considérations suivantes, nous limiterons la variabilité des grandeurs x, y à un domaine fini, et, comme lieu du point O, nous n’envisagerons plus le plan A lui-même, mais une surface T recouvrant ce plan.
Nous choisissons ce mode de représentation où il n’y a rien de choquant à parler de surfaces superposées, afin de pouvoir admettre que le lieu du point 0 puisse recouvrir plusieurs fois la même partie du plan ; mais, en un tel cas, nous supposerons que les portions de surface superposées ne se confondent pas tout le long d’une ligne, en sorte qu’il n’arrive pas que la surface soit pliée, ni qu’elle soit morcelée en des parties superposées. Le nombre des parties de surface superposées en chaque région du plan est alors complètement déterminé lorsque l’on y donne le contour en forme et en direction (c’est-à-dire d’après l’extérieur et l’intérieur dudit contour) ; néanmoins le cours de ces parties peut encore être figuré de différentes manières. En effet, si nous menons sur le plan une ligne quelconque l qui
