8 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. diaire quelconque est nécessairement précédé par ijl et, dans Tordre de succession, par tous les termes antécédents jusqu’à i ; mais lorsque après un certain nombre de termes, m par exemple, nombre évidemment inférieur à n, le terme i reparaît, les autres termes alors doivent revenir dans le même ordre. Le point mobile autour de a revient alors après m circuits sur la même portion de surface, et sa marche est limitée à m des parties de surfaces superposées qui se réunissent en un point unique sur cr. Ce point, nous le nommerons un point de ramification d’ordre (/n — i) de la surface T. En appliquant ce procédé aux n — m parties de surfaces restantes, celles-ci, lorsque leurs cours respectifs sont non isolés, se distribuent en systèmes de mi ? /n2, . . . parties de surfaces, auquel cas au point g sont encore situés des points de ramification d’ordres respectifs (m{ — i), (m2— 1), .... Lorsque la forme et la direction du contour de T, ainsi que la position de ses points de ramification sont données, T est ou bien parfaitement déterminée, ou bien limitée à un nombre fini de figurations distinctes ; ce dernier point résulte de ce que ces données peuvent être relatives à des portions différentes de surfaces superposées.
Une grandeur variable, qui, d’une manière générale, c’est-à-dire sans exclure l’exception faite en des lignes ou points isolés (*), prend en tout point O de la surface T une valeur déterminée variant d’une manière continue avec la position de ce point, peut être évidemment regardée comme une fonction de Xy y, et, partout où dorénavant il sera question de fonctions de x, y, nous adopterons cette définition.
Avant de passer à l’étude de pareilles fonctions, nous allons introduire incidemment quelques éclaircissements relatifs à la connexion d’une surface.Nous bornerons notre examen à des surfaces qui ne sont pas morcelées le long d’une ligne.
C1) Cette restriction ne se présente pas par l’effet même de la définition d’une fonction, mais elle est nécessaire pour que le Calcul infinitésimal puisse y être appliqué. Une fonction qui est discontinue en tous les points d’une surface, comme par exemple une fonction qui, pour 2 ? et y commensurables, aurait pour valeur i, et partout ailleurs la valeur 2, ne peut être soumise ni à une différentiation, ni à une intégration ; on ne peut donc d’aucune manière directe appliquer à une telle fonction le Calcul infinitésimal. La limitation faite arbitrairement au sujet de la surface T se justifiera d’elle-mème plus tard (§ XV). — (Riemann.)
