12 PREMIÈRE PARTIE. —MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. l’intérieur d’une manière simple et partant d’un point intérieur et aboutissant soit en un point du contour, soit en un point antérieur situé sur le cours même de la section, et : Il sera augmenté de i par l’effet d’une coupure partout simple située à l’intérieur de la surface et ayant deux extrémités. En effet, dans le cas de la première coupure, celle-ci peut être transformée en section transverse par l’effet d’une section transverse, tandis que dans le dernier cas il en faut deux. Enfin, l’on obtiendra l’ordre de la connexion d’une surface formée de plusieurs morceaux en additionnant les ordres de connexion respectifs de ces morceaux.
Dans la suite, nous nous en tiendrons surtout aux surfaces formées d’un seul morceau, et pour leur connexion nous nous servirons de la désignation, qui n’a rien d’artificiel, de connexion simple, double, triple, etc., et nous entendrons ainsi par surface /i-uplement connexe une surface qui est décomposable en une surface simplement connexe par l’effet de n—i sections transverses.
Relativement à la manière dont dépend la connexion du contour de la connexion de la surface, l’on voit clairement que : i° Le contour d’une surface simplement connexe est nécessairement formé par une ligne fermée.
En effet, si le contour était formé de parties séparées, une section transverse q, qui réunirait un point d’une partie a à un point d’une partie b, séparerait seulement des portions de surface connexes, car alors l’on pourrait mener une ligne à l’intérieur de la surface et le long de a, partant d’un bord de la section transverse q pour aboutir sur le bord opposé ; et, par conséquent, q ne morcellerait pas la surface, ce qui est contraire à l’hypothèse ; 2° Chaque section transverse diminue ou bien augmente de i le nombre des lignes du contour.
Ou bien une section transverse q relie un point d’une ligne de contour a avec un point d’une autre ligne de contour h (et dans ce cas toutes ces lignes, prises dans l’ordre a, q, b, q, forment une ligne unique de contour fermé) ;
Ou bien elle relie deux points d’une même ligne de contour ;
