Pour l'éclaircissement de nos théorèmes généraux il ne sera pas sans utilité d'exposer en détail un exemple de leur application. L'application indiquée dans le paragraphe précédent, bien qu’atteignant le but prochain envisagé dans la déduction des théorèmes, n'est cependant encore que particulière. En effet, lorsque la dépendance est régie par un nombre fini de ces opérations sur les grandeurs qui y sont regardées comme opérations élémentaires, la fonction contient seulement un nombre fini de paramètres ; quant à la forme d'un système de conditions, relatives au contour et aux discontinuités, indépendantes entre elles, et suffisant pour déterminer la fonction, ce fait a pour conséquence que parmi ces conditions il ne peut s'en présenter aucunes susceptibles d’être déterminées arbitrairement en chaque point le long d'une ligne. Pour le but actuellement envisagé, il semble donc plus approprié de choisir, non un exemple tendant à ces circonstances, mais beaucoup plutôt un exemple où la fonction de la variable complexe dépend d'une fonction arbitraire.
Pour faire saisir la question d’une manière nette et claire, nous allons présenter cet exemple sous la forme géométrique dont on a fait usage à la fin du § XIX. Il s’agit alors dans cet exemple de rechercher la possibilité d'opérer une représentation connexe et semblable en ses plus petites parties d'une surface donnée, représentation dont la forme est donnée ; nous entendons, en parlant ainsi, que l'on donne la courbe du lieu géométrique de chaque point d’encadrement de la représentation, la même courbe pour tous ces points, et que l'on donne en outre le sens de la direction de l'encadrement ainsi que les points de ramification. Nous nous en tiendrons à la solution de ce problème au cas où, à chaque point d’une surface, correspond un point unique de l'autre, et où les surfaces sont simplement connexes, cas où la solution est renfermée dans le théorème suivant :
Deux surfaces planes, simplement connexes données, peuvent toujours être rapportées l’une à l’autre, de telle sorte qu’à
