continue, hormis au point O0, où elle devient infinie. Quant à la partie imaginaire, lorsque parmi les valeurs possibles de f l’on choisit partout la valeur positive la plus petite, elle prend le long du rayon où z — prend des valeurs réelles positives, d’un côté la valeur o, de l’autre -att ; mais d’ailleurs en tous les autres points elle varie d’une manière continue. Ce rayon peut être évidemment remplacé par une ligne quelconque l menée du centre à la circonférence, de telle sorte que la fonction log(z-z0), lorsque le point O traverse cette ligne du bord négatif (c’est-à-dire où p est négatif, § VIII) au bord positif, éprouve une brusque diminution de valeur 2rzi mais d’ailleurs elle varie avec la position de O d’une manière continue sur le cercle 0 tout entier.
Prenons maintenant la fonction complexe a + pi de x, y égale dans le cercle 0 à log(^ — s0) î mais, en dehors du cercle, la ligne l étant prolongée d’une manière quelconque jusqu’au contour de T, choisissons-la comme il suit ;
1o Sur la circonférence de 0, égale à log(^ — zQ)y sur le contour de T, imaginaire pure ;
2o À la traversée du bord négatif au bord positif de la ligne /, elle devra varier de — zizi ; mais, dans tout autre cas, pour une variation infiniment petite du lieu, elle devra varier d’une grandeur infiniment petite de même ordre ; ces fixations i° et 2° sont toujours possibles.
Ceci posé, l’intégrale
Formule
relativement à 0, a une valeur nulle ; relativement à toute la partie
restante de la surface T, elle a une valeur finie. Par conséquent,
a -- fti par l’adjonction d’une fonction continue de y, purement
imaginaire sur le contour et déterminée à un reste près constant
purement imaginaire, peut être transformée en une fonction
t = m -f- ni de z. La partie réelle m de cette fonction sera égale
à o sur le contour, à —oo au point O0î et partout ailleurs sur T
elle variera d’une manière continue.
Pour chaque valeur a de m située entre o et — oo, la surface T est donc partagée par une ligne où m = a, d’une part, en parties
