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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. naires) sous le nom de Principe de Dirichlet ("d’après les Leçons de Dirichlet). Gauss aussi a appliqué de pareilles conclusions (Théorèmes généraux relatifs aux forces d’attraction et de répulsion qui s’exercent en raison inverse du carré de la distance, Œuvres, t. V). Dans ces derniers temps la validité de ce mode de déduction a été combattue ; en particulier et avec raison, l’évidence de l’existence d’un minimum pour l’intégrale II a été niée. Mais l’exactitude du théorème lui-même, pour la démonstration duquel cette méthode doit servir, théorème qui prête aux travaux de Riemann sur la théorie des fonctions leur caractère particulièrement simple et général, a été démontrée par de nouvelles recherches reposant sur d’autres principes. [Voir en particulier les travaux sur ces sujets de Iï.-A. Schwarz (Monatsberichte der Berliner Akad.y oct. 1870. — Journal de Crelle, tome 74 ; et Gesammelte Mathematische Abhandlungen, et ceux de C. Neumann {Recherches sur le potentiel lo garithmique et le potentiel de Newton ; Leipzig, 1877. — Leçons sur la Théorie riemannienne des Intégrales abéliennes, a® édit. ; Leipzig, 1884- )] [6] (p. 40). Les remarques suivantes sont tirées, presque mot pour mot, des brouillons, esquisses du § XVII, trouvés dans les papiers de Riemann et écrits de sa main ; ils serviront en partie à éclaircir, en partie à compléter cette recherche.
Des valeurs Pt et P2 l’une peut être aussi prise partout = o, lorsque seulement T’ a une étendue finie, et de cette façon notre démonstration sera applicable au cas où la discontinuité se présenterait le long d’une partie de l’encadrement ou aurait lieu par l’effet d’une modification des valeurs de y le long d’une ligne à l’intérieur. On n’a pas attribué directement à m la valeur la plus petite de (yi— Y2)2 dans l’intervalle assigné de pi et />2, afin que la démonstration soit aussi applicable au cas où y admettrait une infinité de maxima et minima. par exemple au cas où y aurait dans le voisinage de la ligne de discontinuité la valeur sin - * P
D’une manière pareille l’on peut faire voir que L croît au delà de toutes limites, lorsque X tend indéfiniment vers une fonction y qui. au point O’, possède une discontinuité telle qu’en une partie d’une circonférence décrite du point O’ comme centre avec un rayon p, p tendraient pour p infiniment petit vers une limite finie ou seraient infinis. Dans ce cas, l’on peut assigner à p une valeur R telle qu’au-dessous de cette valeur l’on n’ait jamais
Désignons la plus petite valeur de cette grandeur dans cet intervalle para, alors la contribution apportée à L par une couronne circulaire comprise
