mais plutôt, indiquant d’une façon sommaire le plan du traité, je me propose d’appeler sur cet ouvrage l’attention et l’intérêt des lecteurs qui sont moins familiarisés avec la théorie et les applications de la probabilité mathématique.
Le traité de M. Borel commence par l’étude des problèmes les plus simples et, pour ainsi dire, typiques, pour lesquels l’essence et la portée des méthodes ne sont point cachées ni déguisées par la complexité des artifices. Ainsi le formalisme mathématique est réduit à son minimum, de sorte que l’ouvrage tout entier (si l’on en excepte tout au plus trois ou quatre pages qui ne sont point indispensables à la compréhension exacte et complète de l’ensemble) peut être compris par quiconque ne possède même que l’idée de l’intégral défini.
Mais ce caractère élémentaire, qui, du point de vue formel, domine ces Éléments, fait sensiblement ressortir la profondeur des conclusions dernières, auxquelles le traité est coordonné dans chacune de ses parties. Il convient ici de faire remarquer tout de suite que, parmi les traités de même genre, celui de M. Borel correspond, sous quelques aspects, à une conception nouvelle et personnelle sur la nature des problèmes et sur la portée des méthodes de la théorie des probabilités. Les auteurs de traités de Calcul des probabilités se sont souvent plu à mettre en lumière les solutions contradictoires auxquelles la théorie peut donner lieu pour certains problèmes. On connaît les plaisants paradoxes, où se complaît parfois M. Bertrand dans sa Théorie, qui compte incontestablement parmi les œuvres les plus remarquables et les plus profondes de toute la littérature mathématique. Il s’y prend à plusieurs reprises pour mettre en évidence comment un même problème de probabilité peut admettre, en prenant la théorie pour base, deux ou même plusieurs solutions, qui s’excluent réciproquement, et dans chaque cas il conclut que cela démontre que ces différents problèmes sont mal posés. Or, M. Borel, reprenant justement tour à tour l’examen des mêmes problèmes que M. Bertrand, fait remarquer avant tout comment chacun d’eux répond à une curiosité naturelle et légitime, si bien qu’il n’est point raisonnable d’accepter la justification à priori donnée par M. Bertrand de l’insuccès du calcul.
Après quoi, prenant pour base un examen critique approfondi, M. Borel démontre que, dans chacun de ces cas, les différentes solutions théoriquement possibles sont en effet liées à différents modes d’effectuer expérimentalement les circonstances du problème. Il s’agit, en dernière analyse, de plusieurs problèmes divers, groupés en un énoncé unique ; la différence se trouve dans le différent mode de vérification pratique possible. Cette dernière étant fixée,
