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II. — Inversement, quand on divise les deux membres d’une équation par une quantité contenant l’inconnue, on risque de supprimer des racines convenant à l’équation proposée. Ces racines sont les valeurs de l’inconnue qui annulent la quantité diviseur. Il faut donc les rappeler dans la réponse finale.

Exemples : L’équation $2x=10$(1) a pour racine $5$.
xxx Multiplions ses deux membres par $(x-3)$ :
 $2x\ (x-3)=10\ (x-3)$
ou$2x^{2}-6x=10x-30$.(2)

xxx Il est facile de vérifier que l’équation (2) admet pour racines $5$ et $3$ ; la racine $3$ est étrangère à l’équation (1), et l’on constate que $3$ est la valeur de $x$ qui annule $(x-3)$.
xxx Réciproquement, nous pouvons vérifier que les racines $4$ et $2$ vérifient l’équation :
$3x^{2}-6x=12x-24$.
Supposons que nous ne connaissions pas ces racines, et que nous voulions résoudre cette équation. Pour la simplifier, mettons en facteurs communs $3x$ dans le premier membre et $12$ dans le second :
 $3x\ (x-2)=12\ (x-2)$.
xxx Divisons les deux membres par $(x-2)$ :

  $3x=12$

Cette équation n’admet pour racine que $4$ ; notre calcul a donc fait disparaître la racine $2$ ; il nous faut la retrouver, et pour cela nous rappeler qu’en divisant par $(x-2)$, nous avons supprimé la valeur de $x$ qui annule $(x-2)$, c’est-à dire $2$.

126. — Applications. — I. — Simplifier une équation. — On simplifie une équation en divisant tous ses termes par une même quantité, sous la réserve faite aux n^os 124 et 125.

Ainsi  $8x+12=4x+28$
devient, en divisant tous les termes par $4$ :
 $2x+3=x+7$.