tie d’un même groupe discontinu, car il est évident que des fonctions monodromes demeurant invariantes par des groupes continus de substitutions ne peuvent être que des constantes.
Les substitutions linéaires correspondent au point de vue géométrique à des transformations du plan par des inversions par rayons réciproques composées avec des réflexions. Elles ont un rôle très important dans la géométrie non-euclidienne, ainsi que plusieurs géomètres, entre autres Beltrami, l’ont démontré. Poincaré distingue deux espèces de groupes, ceux qu’il appelle des groupes kleinéens, qui sont les groupes discontinus les plus généraux, et les groupes fuchsiens. Ces derniers interprétés géométriquement laissent fixe l’axe réel, mais par leur composition avec une nouvelle substitution laissent invariable un cercle. C’est le cercle que Poincaré appelle fondamental. La recherche de tous les groupes discontinus est ainsi ramenée aux divisions régulières possibles du plan et de l’espace.
Poincaré distingue dans les substitutions fuchsiennes des familles différentes et il obtient tous les groupes correspondants.
Il fallait maintenant construire effectivement les fonctions qui demeurent invariables
