Nous parlerons donc de la théorie des équations différentielles ordinaires.
Il y eut pour celle-ci, comme pour tout le calcul infinitésimal, un âge d’or : celui où la solution des problèmes que l’on se posait pouvait, à l’aide des moyens que les géomètres possédaient à cette époque, être menée jusqu’au bout, de manière à donner d’un seul coup satisfaction complète à l’esprit.
Rappelons grâce à quelle circonstance cette solution se trouvait avoir toute la simplicité voulue.
Soit un système d’équations différentielles auquel doit satisfaire, par exemple, le mouvement d’un certain système de points. Parmi les conséquences que l’on peut tirer des équations données, certaines peuvent exprimer qu’une ou plusieurs quantités convenablement choisies, fonctions de la position du système, restent forcément constantes pendant tout le cours de son mouvement. On dit que ces quantités sont autant d’intégrales des équations différentielles données[1]
- ↑ Il existe une infinité de mouvements qui satisfont aux mêmes équations différentielles (et qui diffèrent par la façon dont les points mobiles sont lancés initialement). On ne donne le nom d'intégrales qu'aux quantités qui, tout en restant constantes au cours de chacun de ces mouvements, varient, en général, lorsque l'on passe de l'un à un autre. C'est ce qui a lieu pour l'exemple cité dans le texte.
