XII
FONCTIONS INVERSES
47. Une fonction
d’une variable
, définie, soit pour toutes les valeurs d’un intervalle, soit seulement pour certaines de ces valeurs, est dite croissante si,
et
étant deux nombres pour lesquels elle est définie, la condition
(1)
|
|
|
entraîne
(2)
|
;
|
|
elle est décroissante si (1) entraîne
(3)
|
.
|
|
Il est évident que si
est croissante,
est décroissante ; à toute propriété des fonctions croissantes correspond une propriété des fonctions décroissantes.
Les fonctions
,
(celle-ci dans le cas de
) sont croissantes dans l’intervalle
en vertu du calcul des inégalités étendu. De même, les fonctions
,
(dans le cas de
) sont décroissantes dans le même intervalle. La fonction
, dans l’intervalle
,
étant positif, est décroissante.
Soit
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
une fonction d’un argument rationnel définie pour tous les points rationnels d’un intervalle
![{\displaystyle \mathrm {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7a69180f25bbb4c73e091f97c7c5f9941ed17b)
(borné ou non), croissante, et uniformément continue dans tout intervalle borné contenu dans
![{\displaystyle \mathrm {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7a69180f25bbb4c73e091f97c7c5f9941ed17b)
. On sait que le principe d’extension s’applique à
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
et donne une fonction
![{\displaystyle \mathrm {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd88ce01cebb719c991531bf9a76dacc204f6d1a)
définie et continue dans l’intervalle
![{\displaystyle \mathrm {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7a69180f25bbb4c73e091f97c7c5f9941ed17b)
. Je dis que
![{\displaystyle \mathrm {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd88ce01cebb719c991531bf9a76dacc204f6d1a)
est croissante comme
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
. En effet, soient
![{\displaystyle x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2)
et
![{\displaystyle x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c56431607b889d0f2fff3c7120a466db5aa2e30)
deux valeurs quelconques de l’intervalle, et soit
![{\displaystyle {x'<x''}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100ac94a3053f4129fcd47e05c7a939a935ed7a8)
. On peut trouver des nombres rationnels
![{\displaystyle x'_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9a6aafd6bf65bd0abdf54a4e3c48912b64d690)
,
![{\displaystyle x'_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e19da2d71efd67615ea2c3c6803a3550ba206fd)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
![{\displaystyle x'_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28e826469b72e84b48f03b40a6c4fae4c01e009)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
et
![{\displaystyle x''_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef0a15f7a5ce3fcb2af14f7dbff5dfd42e8506c)
,
![{\displaystyle x''_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b413b60ecb833f780554c16144e3dc2cdfebad6)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
,
![{\displaystyle x''_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d211ae65b233acd3165ea7e9d629e13cc70ce35)
,
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
tels qu’on ait
![{\displaystyle x'<\ldots <x'_{n}<\ldots <x'_{1}<x''_{1}<\ldots <x''_{n}<\ldots x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba16d61eebd91f433c8af7f8214e93012611a37)
,
![{\displaystyle \lim {x'_{n}}=x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bef25fec8329502699d59311be2af97082024f1)
,
![{\displaystyle \lim {x''_{n}}=x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30dac92cccd4110198850fc2f6a8dcc10431de80)
.
On aura
![{\displaystyle \mathrm {F} (x')=\lim {f(x'_{n})}<f(x'_{1})<f(x''_{1})<\lim {f(x''_{n})}=\mathrm {F} (x'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb51df50347270918fc760dcd925d655a357949)
,
c’est-à-dire
![{\displaystyle \mathrm {F} (x')<\mathrm {F} (x'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe16bd679d0faa98a40bb93973199ca4b231670)
.
De même, le principe d’extension, appliqué à une fonction d’argument rationnel décroissante et uniformément continue dans tout intervalle borné, donne une fonction continue décroissante.
48. Soit
une fonction continue croissante dans un intervalle borné
; soient
,
les bornes inférieure et supérieure de
. La fonction doit atteindre la valeur
en un point de l’intervalle, qui ne peut être que
; ainsi
; de même
. La fonction étant croissante prend, pour deux valeurs distinctes de la variable, deux valeurs différentes ; d’après le § 44, elle passe au moins une fois par toute valeur intermédiaire entre
et
; donc si
est tel que
, il y a une valeur et une seule de
pour laquelle
prend la valeur
.
Ces résultats s’appliquent, avec quelques modifications, si l’intervalle de variation de
est non borné. Soit, par exemple, une fonction croissante dans l’intervalle
; la borne inférieure
est atteinte pour
; tout nombre
tel que
est atteint ; la borne supérieure
, qui peut être, soit finie, soit égale à
, n’est pas atteinte ; mais si
prend une suite de valeurs tendant vers
(sens étendu de la notion de limite),
tend vers
. Par exemple, les fonctions croissantes
,
(si
), tendent vers
en même temps que
; la fonction décroissante
tend vers 0 quand
tend vers
.
Si l’intervalle de variation est
, aucune des deux bornes n’est atteinte.
49. Dans tous les cas, qu’il s’agisse d’un intervalle borné ou non, désignons par
l’ensemble des valeurs que prend
, par
l’ensemble des valeurs que prend
supposée continue et croissante ; à toute valeur
de
correspond une valeur
de
; et réciproquement, si on se donne un nombre
de
, il y a un et un seul nombre
de
tel que
; donc ce nombre
peut être considéré comme une fonction de
que je désigne par
.
constitue un intervalle, avec cette réserve que l’une des bornes de cet intervalle, même si elle est finie, peut ne pas faire partie de
.
est croissante, car il y a équivalence entre les conditions
et
![{\displaystyle f(x')<f(x'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccccb9a5f29b02f79d6da2d0ffebb229c81a30e)
,
c’est-à-dire, si
,
,entre
et
![{\displaystyle \varphi (\mathrm {X'} )<\varphi (\mathrm {X''} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e21df692a585e12d9b219613792f7ff29528a44)
.
Je dis que
est continue, c’est-à-dire que si
,
,
,
,
,
sont des nombres de
tels que
, on a
. Nous posons
,
. Supposons d’abord que
ne soit pas une borne de l’ensemble
, et prenons deux nombres
et
de
tels que
![{\displaystyle x'<x_{0}<x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a5279c3bae5bb0bd5b23b4c7a7603848a36c0e)
.
Ces conditions entraînent, en posant
,
,
![{\displaystyle \mathrm {X'} <\mathrm {X} _{0}<\mathrm {X} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0887a40add45140f09b7191e2bf7141ed3d884d6)
.
Quand
dépasse une certaine valeur
, on a
![{\displaystyle \mathrm {X'} <\mathrm {X} _{n}<\mathrm {X} ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781208ac2175d3e95945b31b51a7a6597969613d)
,
d’où résulte
![{\displaystyle x'<x_{n}<x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86927c2ea25aa26c5b3d495994db1611522b9bb3)
.
Cela exprime que
tend vers
; donc
tend vers
.
Si
est, par exemple, la borne supérieure de l’ensemble
, il suffit de remarquer que l’on a alors
et de conserver seulement, dans les doubles inégalités précédentes, la première inégalité.
Il est donc établi que
est continue. La fonction
est dite la fonction inverse de
.
De même, si
est une fonction continue décroissante, en posant
,
, on reconnaît que
est une fonction continue décroissante.