XIII
DÉFINITION DES FONCTIONS
.
50. La fonction
,
étant un entier positif, considérée dans l’intervalle
, est continue et croissante (d’après le calcul des inégalités étendu) ; elle est égale à
pour
, et tend vers
quand
tend vers
. On désigne la fonction inverse de
par la notation
![{\displaystyle x={\sqrt[{m}]{\mathrm {X} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f766701bb924ebadca9ff0a3bbe7c3b0b2af08)
;
c’est la racine
e arithmétique du nombre positif
. On voit que c’est une fonction continue et croissante de
dans l’intervalle
; elle est égale à
pour
, et tend vers
en même temps que
.
Si
est une fonction des variables
, continue et non négative dans un champ,
est définie dans ce champ et est continue, d’après le principe du § 38.
51. D’après la théorie des radicaux arithmétiques et des exposants fractionnaires, nul et négatifs, on sait, en supposant défini
(
), comment on définit
,
étant un nombre rationnel quelconque ;
est ainsi une fonction d’argument rationnel, définie dans l’intervalle
; on démontre qu’elle a les propriétés suivantes :
1o
|
;
|
|
2o
|
;
|
|
3o
tend vers 1 si
prend une suite de valeurs rationnelles tendant vers 0 ;
4o Si
,
est croissante ; si
, est décroissante.
Je dis que la fonction d’argument rationnel
est uniformément continue dans tout intervalle borné
. Il s’agit de satisfaire à l’inégalité
![{\displaystyle \left\vert a^{x}-a^{x'}\right\vert <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48aa57ba4a046d6037ed2f130ecfdab28ea7add)
,
qui peut s’écrire
![{\displaystyle a^{x'}\left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f781e667eb7236cd94247d6195365c8277e3f22)
,
Or, si
est un nombre positif supérieur à
et
, comme
est compris entre ces deux valeurs, tout revient à résoudre l’inégalité
![{\displaystyle \mathrm {A} \left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87a3ecd769b7e31343ae145ffb422627289b638)
,
ou
![{\displaystyle \left\vert a^{x-x'}-1\right\vert <{\frac {\varepsilon }{\mathrm {A} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb58eabdec3f909b614aeb5a2d91ef389a26143)
.
Or, cette inégalité est vérifiée quand on a
![{\displaystyle |x-x'|<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204d61b21867193077dab94cb2cef69376093566)
,
étant un certain nombre positif, d’après la propriété 3o.
Ainsi le principe d’extension s’applique à la fonction d’argument rationnel
et donne naissance à une fonction que nous continuons à appeler
, définie pour toutes les valeurs réelles de
, continue, croissante si
, décroissante si
, égale à
si
. C’est la fonction exponentielle.
Si
, comme
tend vers
en même temps que
si
est entier,
tend vers
si
tend vers
. De même,
tend vers 0 si
tend vers
. Le cas de
s’étudie de même.
52. Les fonctions suivantes des deux variables
et
:
et
sont toutes deux continues, car si on a deux suites :
,
,
,
,
tendant vers
, et
,
,
,
,
tendant vers
, on a, d’une part
![{\displaystyle \lim {a^{x_{n}}}=a^{x_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8896a0cd02ee00d818b2f46bba570e886e20f467)
,
![{\displaystyle \lim {a^{y_{n}}}=a^{y_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff193102bb91d8a057c7a6064bd61fecfd9e97ba)
,
d’où
![{\displaystyle \lim {a^{x_{n}}\cdot a^{y_{n}}}=a^{x_{0}}\cdot a^{y_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208d08bb0c8f2d26e53d63bebc11b28a11bb99f9)
;
d’autre part
![{\displaystyle \lim {(x_{n}+y_{n})}=x_{0}+y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907e726f94343977a656b64602fc19a42fb3135a)
,
d’où
![{\displaystyle \lim {a^{x_{n}+y_{n}}}=a^{x_{0}+y_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32dd8042718efdb1c231bb917cabdbde15df0d11)
.
Les fonctions continues
et
, étant égales quand
et
sont rationnels, sont aussi égales quand
et
sont quelconques, d’après le § 39. Donc on a toujours
![{\displaystyle a^{x}\times a^{y}=a^{x+y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4febd3b44a80cb74b81ec69135dd67b311450806)
.
53. La fonction de
,
, où
est un nombre rationnel, est continue ; car si
est positif, soit
,
est fonction continue (§ 50) de
, qui est elle-même fonction continue de
; si a est négatif, soit
, on a
,
est fonction continue, donc
aussi.
54. Quand
et
sont rationnels, on a
(1)
|
.
|
|
Étendons ce résultat au cas où
et
sont quelconques.
1o Supposons
rationnel,
étant quelconque ; formons une suite de nombres rationnels
,
,
,
,
tendant vers
. On a
![{\displaystyle \lim {a^{x_{n}}}=a^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af98f5e48b34526474cb4a0e43928dc63ebb440)
et par suite, d’après le § 53 (
étant rationnel),
![{\displaystyle \lim {(a^{x_{n}})^{y}}=(a^{x})^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bba45cbbf119c5a6c299bf50509c6938e61632)
.
D’autre part, on a,
et
étant rationnels,
![{\displaystyle {(a^{x_{n}})}^{y}=a^{x_{n}y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec48038bade16c9a84d19387ea8be2024e686257)
;
donc
![{\displaystyle (a^{x})^{y}=\lim {(a^{x_{n}})^{y}}=\lim {a^{x_{n}y}}=a^{\lim {x_{n}y}}=a^{xy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad963486051500c39ce66c257bd2174593cae5b)
.
2o Supposons
et
quelconques ; soit une suite de nombres rationnels
,
,
,
,
tendant vers
.
On a, d’après la continuité de la fonction exponentielle,
![{\displaystyle \lim {(a^{x})^{y_{n}}}=(a^{x})^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac47e84e8f8d5ff1636343a75ae4899cb914847)
.
D’après le cas 1o, on a
![{\displaystyle (a^{x})^{y_{n}}=a^{xy_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6927379905b8b303d9627a6649c6e5c86292c0d5)
.
Donc
![{\displaystyle (a^{x})^{y}=\lim {(a^{x})^{y_{n}}}=\lim {a^{xy_{n}}}=a^{\lim {xy_{n}}}=a^{xy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4e3fb02c374bda550764a566f8b1b4a4b8c71f)
.
L’égalité (1) est donc vraie dans tous les cas.
55. La fonction
(
et
) étant définie dans l’intervalle
, et étant, soit croissante, soit décroissante, a une fonction inverse bien définie. On la désigne par
(logarithme de
dans le système de base
). Ainsi, il y a équivalence entre
![{\displaystyle a^{x}=\mathrm {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97053672c1d0161928009839e2d2276f83b5817)
,
![{\displaystyle x=\log _{a}{\mathrm {X} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eafb18248391aa0b84d5308931df17b44320750)
Des propriétés fondamentales de l’exponentielle
![{\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe074be132037bc3c3e8abf1c61fe2d53b929fb0)
,
![{\displaystyle {(a^{x})}^{y}=a^{xy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21beef656c792ad58d7ba7c02969eacb0f5e044c)
,
résultent les propriétés fondamentales des logarithmes :
![{\displaystyle \log _{a}{\mathrm {XY} }=\log _{a}{\mathrm {X} }+\log _{a}{\mathrm {Y} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6b637ca8449838ecbf6aa8c9e06e140bf24a66)
,
![{\displaystyle \log _{a}{\mathrm {X} ^{y}}=y\log _{a}{\mathrm {X} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21833d77338c2f9bd061022445159fcf93b79d5)
.
La fonction logarithmique
est définie pour les valeurs positives de
, continue dans tout intervalle qui ne contient pas 0. Si
, elle est croissante, tend vers
quand
tend vers 0, vers
en même temps que
. Si
, elle est décroissante, tend vers
quand
tend vers 0, vers
quand
tend vers
.
56. La fonction
des variables
et
est définie lorsqu’on a
,
étant quelconque.
Je dis que c’est une fonction continue ; en effet, soit
un nombre quelconque
et
; soit
.
On a
![{\displaystyle x^{y}=(a^{x'})^{y}=a^{x'y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934b0a1f7e4f823af03d26923b961c33663b55f9)
.
Si deux suites
,
,
,
,
et
,
,
,
tendent respectivement vers
et
(les
et
étant positifs), on a, en posant
,
![{\displaystyle \lim {x'_{n}}=x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bef25fec8329502699d59311be2af97082024f1)
,
![{\displaystyle \lim {x'_{n}y_{n}}=x'y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0882b31144d309c7a35361466197bff419b8f8)
,
![{\displaystyle x^{y}=a^{x'y}=a^{\lim {x'_{n}y_{n}}}=\lim {a^{x'_{n}y_{n}}}=\lim {(a^{x'_{n}})^{y_{n}}}=\lim {x_{n}^{y_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9701f259bd5cb651a9ee43bd91616dc0cfa206dd)
.
L’égalité
montre la continuité de la fonction
.
En particulier, si
, supposé fixe, est égal à un nombre irrationnel
, on reconnaît la continuité de la fonction de
:
(
étant positif).
La fonction
, si
et
sont des fonctions de variables
, est, dans un champ où
est positif, une fonction de
; si
et
sont fonctions continues de
, il en est de même de
.