Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/05

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 43-49).

CHAPITRE V.

FORMULES DIVERSES.

35. Problème I. — Étant donnés les sinus et les cosinus de deux arcs, trouver le sinus et le cosinus de la somme et de la différence de ces arcs.

Désignons par a l’arc AM et par b les deux arcs égaux MN et ML (fig. 12) ; l’arc AN sera égal à a + b et l’arc AL égal à a – b.

Fig. 12.

Le rayon OM est perpendiculaire au milieu K de la corde NL.
Menons ensuite NQ, KH et MP perpendiculaires sur OA ; nous avons ainsi

MP = $\sin a$, OP = $\cos a$, NK = $\sin b$, OK = $\cos b$,
NQ = $\sin(a+b)$, OQ = $\cos(a+b)$,
LS = $\sin(a-b)$, OS = $\cos(a-b)$.

1^o Pour calculer NQ = sin (a + b), menons KC parallèle à OA ; nous avons alors

Les triangles semblables OKH, OMP donnent

$\mathrm {{\frac {KH}{MP}}={\frac {OK}{OM}}}$ ou ${\frac {\mathrm {KH} }{\sin a}}={\frac {\cos b}{1}}$, d’où $\mathrm {KH} =\sin a\cos b$.

Les triangles semblables CNK, OMP donnent

$\mathrm {{\frac {CN}{OP}}={\frac {NK}{OM}}}$ ou ${\frac {\mathrm {CN} }{\cos a}}={\frac {\sin b}{1}}$, d’où $\mathrm {CN} =\sin b\cos a$.

On a doncxxx$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a.$

2^o Pour calculer LS = sin (a - b), menons LD parallèle à OA ; nous avons alors : sin (a - b) = KH - KD = KH - CN.
Doncx $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a.$

3^o Nous avons

$\cos(a+b)={\rm {OQ=OH-QH=OH-CK.}}$

Les triangles semblables OHK, OMP donnent

$\mathrm {{\frac {OH}{OP}}={\frac {OK}{OM}}}$,xxxouxxx${\frac {\mathrm {OH} }{\cos a}}={\frac {\cos b}{1}}$,xxxd’oùxxx$\mathrm {OH} =\cos a\cos b.$

Les triangles semblables CKN, OMP donnent

$\mathrm {{\frac {CK}{MP}}={\frac {NK}{OM}}}$,xxxouxxx${\frac {\mathrm {CK} }{\sin a}}={\frac {\sin b}{1}}$,xxxd’oùxxx$\mathrm {CK} =\sin a\sin b$ ;

Doncxxx$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin aa\sin b.$

4^o Nous avons

$\cos(a-b)={\rm {OS=OH+HS=OH+DL=OH+CK}}$ ;

Doncxxx$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Remarque. — La démonstration a été donnée sur une figure où la somme des arcs a et b est moindre que 90°, et l’arc b plus petit que l’arc a. Elle se répéterait de la même manière si cette somme était supérieure à 90°, et si l’arc b était plus grand que l’arc a. Il est seulement nécessaire de bien faire attention au signe que doit prendre le cosinus.

Fig. 13.

En effet, considérons la figure 13 où l’on a conservé les mêmes lettres que dans la figure précédente. Nous avons, par exemple, $\cos(a+b)=-{\rm {OQ}}$, ou, en changeant les signes des deux membres,

$-\cos(a+b)=\mathrm {OQ=QH-OH=CK-OH}$.

Au moyen des mêmes triangles semblables, on trouvera encore $\mathrm {CK} =\sin a\sin b$, et $\mathrm {OH} =\cos a\cos b$ ; on aura donc $-\cos(a+b)=\sin a\sin b-\cos a\cos b$, ou, en changeant les signes des deux membres,

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

Dans les formules relatives à $\sin(a-b)$ et $\cos(a-b)$, l’arc b est toujours inférieur à l’arc a. Le cas où le contraire aurait lieu n’appartient pas à la théorie de la résolution des triangles : cette question sera d’ailleurs traitée d’une manière complète au chapitre XII.

En réunissant les formules trouvées, on a le tableau suivant :

xxxx(8)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a,$

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$

xxxx(9)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a,$

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$

36. Problème II. — Étant donnés le sinus et le cosinus d’un arc, trouver le sinus et le cosinus du double de cet arc.

Les formules (8) étant vraies quels que soient les arcs a et b, dont la somme ne surpasse pas 180°, on peut y supposer b égal à a, ce qui donne

xxxx(10)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin 2a=2\sin a\cos a,$

$\cos 2a=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a.$

37. Problème III. — Étant donné le cosinus d’un arc, trouver le sinus et le cosinus de la moitié de cet arc.

L’arc a étant le double de l’arc ${\frac {a}{2}}$, si on remplace a par ${\frac {a}{2}}$ dans la seconde des formules (10), on obtient  $\cos a=\cos ^{2}{\frac {a}{2}}-\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$
On a de plus (n^o 13).........$1=\cos ^{2}{\frac {a}{2}}+\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$
Telles sont les deux équations du problème.

En les additionnant membre à membre, on trouve

$1+\cos a=2\cos ^{2}{\frac {a}{2}}$,xxxd’oùxxx$\cos {\frac {a}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}$.

En retranchant la première de la seconde, on trouve

$1-\cos a=2\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$,xxxd’oùxxx$\sin {\frac {a}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}$.

Comme l’arc a ne doit pas surpasser 180°, l’arc ne peut surpasser 90° ; par conséquent, et ne peuvent prendre que le signe +. On a donc les deux formules suivantes
(11)$\qquad \qquad \sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}$,$\quad \cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}$.

38. Problème IV. — Transformer en un produit la somme et la différence de deux sinus ou cosinus.

1^o En additionnant membre à membre les égalités

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$,

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$,

puis en retranchant la seconde de la première, on trouve

$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$,

$\sin(a-b)-\sin(a-b)=2\sin b\cos a$.

Ces deux formules résolvent le problème ; mais elles ne peuvent pas être traduites facilement en langage ordinaire, c’est-à-dire donner la règle à suivre pour remplacer la somme ou la différence des sinus de deux arcs par un produit équivalent.

Pour y parvenir désignons par p le premier arc a + b et par q le second arc a—b, ce qui est ainsi indiqué

$a+b=p,\quad a-b=q$.

xxxx	Ces deux égalités, ajoutées ensemble, donnentxxx	$a={\frac {p+q}{2}}$.
	La seconde retranchée de la première donne	$b={\frac {p-q}{2}}$.

En remplaçant a et b par ces valeurs dans les égalités obtenues, on a

xxxx(12)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\sin p+\sin q=2\sin {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}},$

$\sin p-\sin q=2\sin {\frac {p-q}{2}}\cos {\frac {p+q}{2}}.$

La première, par exemple, exprime la règle suivante : la somme des sinus de deux arcs est égale au double produit du sinus de la demi-somme de ces arcs par le cosinus de leur demi-différence.

2^o En opérant de la même manière sur les égalités

${\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\\\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\end{aligned}}$

et en observant que dans la soustraction il faut retrancher la première de la seconde parce que $\cos(a+b)$ est plus petit que $\cos(a-b)$, on trouve

xxxx(13)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$\cos p+\cos q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}},$

$\cos q-\cos p=2\sin {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}.$

Remarque I. — Pour transformer en un produit la somme ou la différence d’un sinus et d’un cosinus, on remplace le cosinus par le sinus du complément, ce qui ramène au cas précédent.

Soit par exemple $\sin a+\cos b$. Cette somme est égale à $\sin a+\sin(90^{\circ }-b)$.

En appliquant à cette somme de deux sinus la règle trouvée, on a

$\sin a+\cos b=2\sin \left(45^{\circ }+{\frac {a-b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a+b}{2}}-45^{\circ }\right)$.

Remarque II. — On a quelquefois besoin dans les calculs de transformer le binôme 1 + sin a en un produit. On peut alors regarder 1 comme le sinus de 90° ; il n’y a plus qu’à appliquer la règle précédente à la somme sin 90° + sin a, et à la différence sin 90° - sin a.

S’il s’agissait du binôme $1+\cos a$, on pourrait opérer de la même manière. Mais les formules (11) donnent plus simplement

$1-\cos a=2\sin ^{2}{\frac {a}{2}}$,$\quad 1+\cos a=2\cos ^{2}{\frac {a}{2}}$.

39. Problème V. — Trouver le rapport entre la somme de deux sinus et leur différence.

Divisons membre à membre les deux égalités (12), en supprimant en même temps dans le résultat le facteur 2 au numérateur et au dénominateur, nous obtenons

${\frac {\sin p+\sin q}{\sin p-\sin q}}\ =\ {\frac {\sin {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}}{\sin {\frac {p-q}{2}}\cos {\frac {p+q}{2}}}}\ =\ {\frac {\sin {\frac {p+q}{2}}}{\cos {\frac {p+q}{2}}}}\times {\frac {\cos {\frac {p-q}{2}}}{\sin {\frac {p-q}{2}}}}$

Or le sinus d’un arc divisé par le cosinus du même arc donne la tangente de cet arc, et le cosinus divisé par le sinus donne la cotangente (n^o 13) ; on a donc d’après cela

${\frac {\sin p+\sin q}{\sin p-\sin q}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {p+q}{2}}\times \operatorname {cotg} {\frac {p-q}{2}}$

On sait de plus que $\operatorname {cotg} {\frac {p-q}{2}}$ est égal à ${\frac {1}{\operatorname {tang} {\frac {p-q}{2}}}}$ ; on obtient ainsi

(14)                    ${\frac {\sin p+\sin q}{\sin p-\sin q}}\ =\ {\frac {\operatorname {tang} {\frac {p+q}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {p-q}{2}}}}$.

40. Problème VI. — Étant données les tangentes de deux arcs, trouver la tangente de la somme et de la différence de ces arcs.

D’après les formules (1) et (8), on a d’abord

$\operatorname {tang} (a+b)\ =\ {\frac {\sin(a+b)}{\cos(a+b)}}\ =\ {\frac {\sin a\cos b+\sin b\cos a}{\cos \cos b-\sin a\sin b}}$.

Divisant le numérateur et le dénominateur par $\cos a\cos b$ et supprimant les facteurs communs aux deux termes de chaque fraction, on trouve

${\begin{aligned}\operatorname {tang} (a+b)&\ =\ {\frac {{\frac {\sin a\cos b}{\cos a\cos b}}+{\frac {\sin b\cos a}{\cos a\cos b}}}{{\frac {\cos a\cos b}{\cos a\cos b}}-{\frac {\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}}}\\&\ =\ {\frac {{\frac {\sin a}{\cos a}}+{\frac {\sin b}{\cos b}}}{1-{\frac {\sin a}{\cos a}}\times {\frac {\sin b}{\cos b}}}}\ =\ {\frac {\operatorname {tang} a+\operatorname {tang} b}{1-\operatorname {tang} a\operatorname {tang} b}}\end{aligned}}$

Pour tang (a – b), il n’y a qu’à changer dans ce qui précède + en – au numérateur et – en + au dénominateur. On a donc :

xxxx(15)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\operatorname {tang} (a+b)={\frac {\operatorname {tang} a+\operatorname {tang} b}{1-\operatorname {tang} a\operatorname {tang} b}},$

$\operatorname {tang} (a-b)={\frac {\operatorname {tang} a-\operatorname {tang} b}{1+\operatorname {tang} a\operatorname {tang} b}}.$

Remarque I. — En se rappelant que tang 45° égale 1, on a

$\operatorname {tang} (45^{\circ }+a)={\frac {1+\operatorname {tang} a}{1-\operatorname {tang} a}}$,$\quad \operatorname {tang} (45^{\circ }-a)={\frac {1-\operatorname {tang} a}{1+\operatorname {tang} a}}$.

Ces relations sont souvent utilisées dans les calculs.

Remarque II. — Si l’on fait b = a dans la première des formules (15), on obtient

$\operatorname {tang} 2a={\frac {2\operatorname {tang} a}{1-\operatorname {tang} ^{2}a}}$.

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