Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/06

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 50-56).

CHAPITRE VI.

RÉSOLUTION D’UN TRIANGLE.

41. Troisième cas. — Résoudre un triangle en connaissant deux côtés a et b, et l’angle C compris entre eux.

Cherchons d’abord les angles A et B. Nous connaissons déjà leur somme qui est égale à 180° – C ; il suffit donc d’obtenir leur différence.

La formule (14) donne déjà

$\mathrm {{\frac {\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}}\ =\ {\frac {\operatorname {tang} {\frac {A+B}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {A-B}{2}}}}}$.

Pour remplacer le premier membre par une valeur exprimée en fonction des côtés donnés a et b, nous emploierons la proportion ${\frac {\sin \mathrm {A} }{a}}={\frac {\sin \mathrm {B} }{b}}$. D’après un principe démontré en arithmétique, on en tire

$\mathrm {\frac {\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}} \ =\ {\frac {a+b}{a-b}}$.

Les premiers membres de cette égalité et de la première étant égaux, on a
(16)                                   $\mathrm {\frac {\operatorname {tang} {\frac {A+B}{2}}}{\operatorname {tang} {\frac {A-B}{2}}}} \ =\ {\frac {a+b}{a-b}}$.

C’est là l’équation qui permet de calculer la différence des angles A et B ; car on en tire

$\mathrm {\operatorname {tang} {\frac {A-B}{2}}\ =\ {\operatorname {tang} {\frac {A+B}{2}}}} \times {\frac {a-b}{a+b}}$.

La somme et la différence des angles A et B étant ainsi connues, on sait que le plus grand est égal à la demi-somme plus la demi-différence, et que le plus petit est égal à la demi-somme moins la demi-différence.

Pour calculer ensuite le côté c, on a

${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, xxxd’où $c={\frac {a\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} }}$.

Remarque — On peut obtenir le côté c un peu plus simplement. En effet, d’après un principe concernant une suite de rapports égaux, la suite ${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$ donne

${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a+b}{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}$, xxxxxxx$c={\frac {(a+b)\sin \mathrm {C} }{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}$.

Or la formule (12) donne

$\mathrm {\sin A=\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$ ;

la formule (10) donne aussi

$\mathrm {\sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}$.

En substituant ces résultats dans la valeur trouvée pour c, on obtient

$c\ =\ {\frac {(a+b)\;2\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}}{2\sin {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\cos {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}}}\ =\ {\frac {(a+b)\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}}{\cos \mathrm {\frac {A-B}{2}} }}$ ;

car ${\frac {\mathrm {C} }{2}}$ étant le complément de ${\frac {\mathrm {A+B} }{2}}$, le facteur $\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}$ est égal au facteur $\sin {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}$.

Par cette dernière méthode, on utilise dans le calcul du côté c le logarithme de a  +  b, déjà employé dans le calcul des angles, et l’on n’a à chercher que deux nouveaux logarithmes au lieu de trois.

Exemple. — Dans un triangle on a

a = 215^m,36,xxxb = 183^m,47,xxxC = 71° 25′ 14″ ;

calculer les angles A et B, et le côté c.

Calcul de A et B.

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}\times {\frac {a-b}{a+b}}$.

$\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}\ =\ \log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}+\log(a-b)-\log(a+b)$.

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$\mathrm {A+B} =180^{\circ }-\mathrm {C} =108^{\circ }34^{\prime }46^{\prime \prime }$,xxx$a+b=398{,}83$,

${\frac {\mathrm {A+B} }{2}}=54^{\circ }17^{\prime }23^{\prime \prime }$.                          $a-b=31{,}89$.

${\begin{aligned}\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}&=0{,}14336\\\log(a-b)&=1{,}50365\\-\log(a+b)&={\overline {3}}{,}39921\end{aligned}}$

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${\begin{aligned}\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}={\overline {1}}{,}04622\\6^{\circ }20^{\prime }\ldots \ldots \ldots 528&\\{\frac {}{\qquad \quad }}&\\49^{\prime \prime }\ \ldots \ldots \ 94&\\60&\end{aligned}}$

${\overline {\mathrm {\frac {A-B}{2}} \ =\ 6^{\circ }20^{\prime }49^{\prime \prime }}}\qquad {\overline {5640}}|{\frac {115}{\ 49}}$

${\begin{aligned}\mathrm {A} =\mathrm {\frac {A+B}{2}} +\mathrm {\frac {A-B}{2}} &=60^{\circ }38^{\prime }12^{\prime \prime }\\\mathrm {B} =\mathrm {\frac {A+B}{2}} -\mathrm {\frac {A-B}{2}} &=47^{\circ }56^{\prime }34^{\prime \prime }.\\\end{aligned}}$

Calcul de c.

$c={\frac {(a+b)\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}}{\cos {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}}}$.	${\begin{aligned}\log(a+b)&=2{,}60079\\\log \sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}\ &={\overline {1}}{,}76618\end{aligned}}$
${\begin{aligned}\log c=\log(a+b)+\log \sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}&\\-\log \cos {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}.&\end{aligned}}$	$\quad -\log \cos {\frac {\mathrm {A-B} }{2}}=0{,}00266$.
${\frac {\mathrm {C} }{2}}=35^{\circ }42^{\prime }37^{\prime \prime }$.	${\begin{aligned}\qquad \quad \ \ \ {\frac {\qquad }{\log c\qquad =2{,}36963}}&\\2342\ldots \ldots \ldots \ldots 59\,&\end{aligned}}$
	$\qquad \qquad \quad \ \ 02\ldots \ldots \ldots \ldots {\overline {40|{\underline {18}}}}$
	$\quad \ c=234^{\mathrm {m} }{,}22\qquad \qquad \qquad \ \ \,|\ \ 2$

42. Quatrième cas. — Résoudre un triangle en connaissant les trois côtés a, b et c.

1^o Nous avons déjà (n^os 36 et 33) les égalités

$\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \mathrm {A} }{2}}},\qquad \cos \mathrm {A} ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$.

Remplaçons dans la première $\cos {\rm {A}}$ par sa valeur que donne la seconde ; nous aurons

$\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}{2}}}={\sqrt {\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{4bc}}}$.

Or $2bc-b^{2}-c^{2}$ est le carré de $b-c$ qui aurait été changé de signe, ou, ce qui est la même chose, qui aurait été retranché de $a^{2}$ au lieu de lui être ajouté dans le numérateur de la fraction placée sous le second radical. On peut donc écrire

$\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {a^{2}-(b^{2}+c^{2}-2bc)}{4bc}}}={\sqrt {\frac {a^{2}-(b-c)^{2}}{4bc}}}$.

Mais la différence des carrés des quantités a et b - c étant égale à la somme de ces quantités, multipliée par leur différence, on a

$\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}}}$.

Cette formule est calculable par logarithmes ; mais on peut lui donner une forme plus simple. Pour cela, représentons le périmètre du triangle par 2p, ce qui est exprimé par l’égaillé $a+b+c=2p$. En ôtant 2c aux deux membres et en ôtant de même 2b, on trouve

${\begin{aligned}a+b-c&=2p-2c=2(p-c),\\a-b+c&=2p-2b=2(p-b).\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans celle qu’on vient de trouver pour $\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}$, on obtient, après la suppression du facteur 4 commun aux deux termes,
(17)                                   $\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}$.

Il suffit d’examiner la composition de ce résultat pour l’appliquer aux deux autres angles, sans recommencer ces calculs. On trouve

$\sin {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{ac}}},\qquad \sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{ab}}}$.

2^o Si on opère de la même manière sur les égalités

$\cos {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \mathrm {A} }{2}}},\qquad \cos \mathrm {A} ={\frac {b^{2}+c^{2}-a}{2bc}}$.

on obtiendra
(18)                                   $\cos {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}$.

Pour les deux autres angles, on trouve

$\cos {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-b)}{ac}}},\qquad \cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-c)}{ab}}}$.

3^o En divisant membre à membre les égalités (17) et (18), on obtient
(19)                                   $\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}$.

Pour les deux autres angles on trouve

${\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}&={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\\\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {C} }{2}}&={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.\end{aligned}}$

D’après la remarque faite au n^o 26, c’est la formule (19) et les deux qui l’accompagnent qu’on devra employer de préférence pour le calcul des angles d’un triangle. De plus, les quatre logarithmes qui ont servi pour un angle sont aussi employés pour les deux autres.

Exemple. — Dans un triangle on a

a = 64^m,258,xxx b = 56^m,174,xxx c = 47^m,942 ;

calculer les trois angles.

${\begin{aligned}a=\ \ 64{,}258&\\b=\ \ 56{,}174&\\{\underline {\ \ c=\ \ 47{,}942}}&\\2p=168{,}374&\end{aligned}}$

${\begin{aligned}p=84{,}187&\\p-a=19{,}929&\\p-b=28{,}013&\\p-c=36{,}245&\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\log p=1{,}92525&\\\log(p-a)=1{,}29949&\\\log(p-b)=1{,}44736&\\\log(p-c)=1{,}55925&\\\end{aligned}}$

Calcul de A.

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}$.

$\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\frac {1}{2}}\left[\log(p-b)+\log(p-c)-\log p-\log(p-a)\right]$

${\begin{aligned}\log(p-b)&=1{,}44736\\\log(p-c)&=1{,}55925\\-\log p\qquad \ &={\overline {2}}{,}07475\\-\log(p-a)&={\overline {2}}{,}70051\end{aligned}}$

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${\begin{aligned}2\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\overline {1}}{,}78187&\\\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\overline {1}}{,}89094&\\37^{\circ }52^{\prime }\ldots {\underline {\ldots 73}}&\\47^{\prime \prime }\;\ldots \;21&\end{aligned}}$

${\overline {{\frac {\mathrm {A} }{2}}=37^{\circ }52^{\prime }47^{\prime \prime }}}\qquad 60$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\overline {1260}}|{\underline {26}}$

$\ \ \ \ \ \mathrm {A} =75^{\circ }45^{\prime }34^{\prime \prime }\qquad \quad \ \ |47$

Calcul de B.

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}}$.

$\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {B} }{2}}={\frac {1}{2}}\left[{\color {Green}\log(p-a)+\log(p-c)}-\log p-\log(p-b)\right]$

Calcul de C.

$\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}$.

$\log \operatorname {tang} {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\frac {1}{2}}\left[\log(p-a)+\log(p-b)-\log p-\log(p-c)\right]$

En faisant les calculs indiqués, comme on a fait pour l’angle A, on trouve

$\mathrm {B} =57^{\circ }55^{\prime }24^{\prime \prime },\quad \mathrm {C} =46^{\circ }19^{\prime }\ 0^{\prime \prime }$.

La somme des trois angles trouvés ne diffère de 180° que de $2^{\prime \prime }.$

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