Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/07

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 57-59).

CHAPITRE VII.

SURFACE DU TRIANGLE ET DU QUADRILATÈRE.

43. La trigonométrie fournit des formules très-simples pour calculer la surface d’un triangle, quand on connaît trois de ses parties, parmi lesquelles il y a au moins un côté.

1^o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés deux côtés et l’angle compris entre eux.

Fig. 14.

Dans le triangle ABC (fig. 14) menons la hauteur AD. Nous avons d’abord

$\mathrm {ABC} ={\frac {\mathrm {BC\times AD} }{2}}={\frac {a\times \mathrm {AD} }{2}}$.

Or le triangle rectangle ACD donne : AD = AC sin C = b sin C.
En substituant cette valeur de AD dans l’égalité précédente, on a :

(20)                                   $\mathrm {ABC} ={\frac {ab\sin \mathrm {C} }{2}}$.

Donc la surface d’un triangle est égale au demi-produit de deux côtés multiplié par le sinus de l’angle compris entre ces côtés.

2^o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés un côté et les angles.

Pour résoudre cette question, il suffit d’éliminer le côté b de la formule (20). Or la proportion ${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}$ donne $b={\frac {a\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} }}$ ; cette valeur de b substituée dans la formule (20) donne

(21)                                   $\mathrm {ABC} ={\frac {a^{2}\sin \mathrm {B} \sin \mathrm {C} }{2\sin \mathrm {A} }}$.

Donc la surface d’un triangle est égale au carré d’un côté multiplié par le produit des sinus des deux angles adjacents à ce côté, et divisé par le double du sinus du troisième angle.

3^o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés les trois côtés.

Il faut chercher sin C en fonction des trois côtés, et substituer le résultat dans la formule (20).

D’après le n^o 36, on a

$\sin \mathrm {C} =2\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}$ ;

les formules (17) et (18) donnent aussi

$\sin {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{ab}}}$,xxx$\cos {\frac {\mathrm {C} }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-c)}{ab}}}.$

En substituant ces valeurs dans celle de sin C, on trouve

$\sin \mathrm {C} =2{\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{ab}}}\times {\sqrt {\frac {p(p-c)}{ab}}}={\frac {2}{ab}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Enfin ce résultat, substitué à sin C dans la formule (20), donne

(22)                                   $\mathrm {ABC} ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Donc, la surface d’un triangle est égale à la racine carrée du produit du demi-périmètre multiplié par l’excès de ce demi-périmètre sur chacun des trois côtés.

44. Calculer la surface d’un quadrilatère, étant donnés les deux diagonales et l’angle qu’elles forment entre elles.

Remarquons (fig. 15) d’abord que l’angle aigu et l’angle obtus adjacents que les diagonales forment à leur intersection étant supplémentaires, leurs

Fig. 15.

sinus sont égaux : désignons l’angle aigu par $\alpha$.

D’après la formule (20), on a

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {ABO} =\mathrm {AO\times BO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$,

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$\mathrm {ADO} =\mathrm {AO\times DO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$,

$\mathrm {BCO} =\mathrm {CO\times BO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$ ;

$\mathrm {CDO} =\mathrm {CO\times DO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$.

En additionnant membre à membre les deux égalités de chacun des deux groupes, on obtient

$\mathrm {ABC} =\mathrm {AC\times BO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$,xxx$\qquad \qquad \quad \mathrm {ACD} =\mathrm {AC\times DO} \times {\frac {\sin \alpha }{2}}$.

L’addition de ces deux dernières égalités, membre à membre, donne enfin

(23)                                   $\mathrm {ABCD} ={\frac {\mathrm {AC\times BD} \times \sin \alpha }{2}}$.

Donc la surface d’un quadrilatère est égale au demi-produit des deux diagonales multiplié par le sinus de l’angle aigu qu’elles forment entre elles.

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