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Remarquons, de plus, que l’on a (prop. 32)

$t=pe^{f(b)}=r\sin \Pi (\alpha )\cdot e^{f(b)}$

Si la perpendiculaire au plan du triangle $ABC$ (fig. 28), au lieu d’être élevée au point $A,$ l’avait été au point $B,$ les lignes $c$ et $r$ seraient restées les mêmes ; les arcs $q$ et $t$ se seraient changé en $t$ et $q\,;$ les droites $a$ et $b,$ en $b$ et $a,$ et l’angle $\Pi (\alpha )$ en $\Pi (\beta ).$ On aurait, par conséquent,

$q=r\sin \Pi (\beta )\cdot e^{f(a)},$

d’où résulte, en substituant pour $q$ sa valeur,

$\cos \Pi (\alpha )=\sin \Pi (\beta )\cdot e^{f(a)},$

et, en changeant $\alpha$ en $b,$ $\beta$ en $c,$

$\sin \Pi (b)=\sin \Pi (c)\cdot e^{f(a)},$

d’où, en multipliant par $e^{f(b)},$

$\sin \Pi (b)\cdot e^{f(b)}=\sin \Pi (c)\cdot e^{f(c)}$

Il en résulte aussi

$\sin \Pi (a)\cdot e^{f(a)}=\sin \Pi (b)\cdot e^{f(b)}.$

Or les droites $a$ et $b$ sont indépendantes l’une de l’autre, et de plus, pour $b=0,$ on a

$f(b)=0,\qquad \Pi (b)={\frac {1}{2}}\pi .$

Donc, pour toute droite $a,$ on a

$e^{-f(a)}=\sin \Pi (\alpha ),$

ce qui donne

${\begin{alignedat}{3}\sin \Pi (c)&=&\sin \Pi (a)&\cdot \sin \Pi (b),\\\sin \Pi (\beta )&=&\cos \Pi (\alpha )&\cdot \sin \Pi (a).\end{alignedat}}$

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