Éléments de thermodynamique cinétique/Chap I

Jean Villey

Éléments de thermodynamique cinétique

Gauthier-Villars, éditeurs, 1933 (p. 2-11).

CHAPITRE I.

la conservation de l’énergie mécanique.

2. Le principe de l’inertie. — Par des discussions prolongées et des approximations progressives dans l’observation, on est arrivé à dégager le principe fondamenlal de la dynamique sous la forme suivante : Un point matériel abandonné à lui-même garde une vitesse constante. Cet énoncé englobe le cas particulier de la vitesse nulle : si le point est en équilibre et si rien n’agit sur lui, il ne se met pas spontanément en mouvement.

Un tel énoncé exige d’ailleurs des précisions relatives au trièdre de référence par rapport auquel on mesure la vitesse. Si, au lieu du premier trièdre, on en utilise un autre, mobile par rapport à lui, la vitesse du point matériel n’est plus la même. Pour que, constante dans le premier trièdre, elle reste constante dans le second, il faut et il suffit que celui-ci soit lui-même animé, par rapport au premier, d’un mouvement de translation rectiligne à vitesse constante. Si le principe de l’inertie est vrai pour un système de référence donné, il est vrai pour tous les systèmes animés par rapport à celui-là de translations rectilignes uniformes. Par contre, le principe de la composition géométrique des déplacements, qui entraîne la composition géométrique des vitesses, montre que le principe de l’inertie cessera de s’appliquer si le second trièdre est animé par rapport au premier de n’importe quelle autre espèce de mouvement : translation rectiligne à vitesse non constante, translation non rectiligne, rotation.

Le principe de l’inertie, auquel ont conduit les mesures de vitesse par rapport à des trièdres attachés à la Terre, n’est pas, en réalité, rigoureusement exact par rapport à ces trièdres. Les observations astronomiques, et des expériences telles que celle du pendule de Foucault, manifestent qu’il le deviendrait par rapport à ces axes si, au lieu d’être entraînés par le mouvement diurne de rotation de la Terre autour de son axe polaire, ils conservaient des directions fixes par rapport aux étoiles, et mieux encore si ces axes de directions fixes par rapport aux étoiles, au lieu d’être entraînés par la Terre dans sa rotation annuelle autour du Soleil, étaient attachés au centre de gravité du système solaire.

Pratiquement, le principe de l’inertie s’applique, avec une précision qui dépasse la sensibilité des observations courantes, lorsque l’on mesure les vitesses par rapport aux axes attachés à la Terre auxquels on se réfère normalement, et que nous supposerons utilisés dans toute la suite de l’étude.

3. Forces, accélérations et masses. — Ce principe une fois posé, lorsque l’on voit un point matériel initialement au repos se mettre en marche, ou plus généralement lorsque l’on voit sa vitesse se modifier en grandeur, ou même seulement en direction, on attribue ce phénomène à une action exercée sur lui par l’extérieur : on dit qu’il est soumis à une force. Cette notion de force s’impose d’elle-même dans les cas où l’action extérieure est liée à un phénomène physique immédiatement observable et mesurable, comme la déformation élastique du ressort d’une arbalète, ou la tension des fils de caoutchouc d’un lance-pierre. On conçoit encore très bien que le fil de la fronde exerce, bien qu’inextensible, sur la pierre, la force nécessaire pour la maintenir sur une trajectoire circulaire, alors que son mouvement spontané consisterait à chaque instant à s’échapper en mouvement rectiligne suivant la tangente au cercle (ce qu’elle ne manquera pas de faire d’ailleurs aussitôt qu’on lâchera le fil de retenue) ; cette force serait d’ailleurs rendue matériellement visible et mesurable si l’on remplaçait le fil inextensible par un fil de caoutchouc.

On arrive ensuite simplement à la notion de forces à distance s’exerçant sans lien matériel, lorsque l’on constate que la balle de sureau du pendule électrique se précipite sur le plateau métallique placé en face de lui, dès que l’on réunit ces deux conducteurs aux deux pôles d’une batterie électrique chargée. De là, on est conduit sans difficulté à attribuer à une autre force à distance exercée par la Terre, la mise en marche de la pierre pesante que l’on abandonne à elle-même. Cette force de gravitation ne peut d’ailleurs plus être établie ou supprimée à volonté : elle existe invariablement sans que nous puissions agir sur elle.

Il y a lieu de préciser la définition de la grandeur qui caractérise la variation de vitesse du point matériel, par laquelle se manifeste la force.

Cette définition est très simple lorsque le mouvement du point matériel reste rectiligne, ce qui se produit lorsque la force reste toujours dirigée suivant la même droite que la vitesse $v.$ La variation de la vitesse est alors caractérisée par sa dérivée par rapport au temps ${\frac {dv}{dt}}=\gamma ,$ qu’on appelle l’accélération du point matériel dans son mouvement rectiligne. Elle n’est pas autre chose que la vitesse avec laquelle se déplace l’extrémité d’un vecteur construit à partir d’une origine fixe O et égal à chaque instant à la vitesse actuelle $v$ du point matériel.

Un fil de caoutchouc tendu de façon déterminée exerce une force déterminée. En comparant les accélérations au départ qu’il imprime à divers points matériels, on introduit la notion de coefficients caractéristiques de ces divers points matériels que l’on appelle leurs masses d’inertie, ou plus simplement leurs masses. On les définit comme inversement proportionnelles aux accélérations observées, et l’on prend arbitrairement l’une d’entre elles comme unité. Des expériences faites avec deux balles de plomb identiques, puis avec la balle obtenue en les fondant ensemble, qui subit une accélération au départ moitié moindre, manifestent d’autre part l’addition pure et simple des masses d’inertie qui accompagne l’addition de matière : cette additivité montre que la masse est une propriété intrinsèque de la matière ; elle est invariable, du moins si l’on se contente d’étudier les vitesses très faibles vis-à-vis de la vitesse de la lumière, pour lesquelles la Théorie de la relativité n’introduit que des corrections absolument négligeables.

Deux fils de caoutchouc, identiques et identiquement tendus, exercent deux forces égales. S’ils agissent ensemble sur le même point matériel, on constate qu’ils lui impriment une accélération au départ deux fois plus, grande.

Ces diverses constatations et définitions se résument dans la relation

(1)

$f=m\gamma .$(1)

Elle se présente ici comme une relation algébrique entre la valeur numérique de la force $f$ et la valeur numérique de l’accélération $\gamma ,$ qui sont dirigées sur la même droite. On peut toutefois la considérer aussi comme une relation entre les vecteurs ${\overline {f}}$ et ${\overline {\gamma }}$ qui sont portés tous les deux par cette droite commune.

Dans le cas où la trajectoire du point matériel n’est pas rectiligne, il faut évidemment définir la force par sa grandeur et par sa direction c’est-à-dire par un vecteur ${\overline {f}}.$ L’accélération elle aussi est caractérisée par un vecteur, dont la définition généralise, dans l’espace à trois dimensions, la propriété qu’on a notée plus haut dans le cas du mouvement rectiligne. À partir d’un point fixe O, on porte un vecteur $v$ équipollent (c’est-à-dire égal et parallèle) à chaque instant à la vitesse actuelle du point matériel M ; l’extrémité de ce vecteur décrit une courbe, appelée hodographe, et sa vitesse est à chaque instant un vecteur bien défini : le vecteur équipollent mené par le point M définit son accélération ${\overline {\gamma }}.$ Dans tous les cas où la force $f$ peut être déterminée soit par observation directe (par exemple si elle est exercée par un fil de caoutchouc), soit par une exploration préalable au moyen du point matériel maintenu en équilibre en ce même point (champ de forces, par exemple champ de gravitation), on constate que les vecteurs ${\overline {f}}$ et ${\overline {\gamma }}$ sont portés par la même droite, et que leurs grandeurs sont encore entre elles dans le même rapport $m$, ce que l’on exprime par l’équation vectorielle

(2)

${\overline {f}}=m{\overline {\gamma }}.$(2)

En généralisant ce résultat, chaque fois que l’on constatera que le point matériel $\mathrm {M}$ subit une accélération ${\overline {\gamma }}$ définie comme on l’a fait ci-dessus, on affirmera qu’il est soumis à une force ${\overline {f}}$ définie par la relation vectorielle ${\overline {f}}=m{\overline {\gamma }}.$

La Terre est entourée d’un champ de forces radiales, dites de gravitation, qui s’exercent spontanément et invariablement sur tous les points matériels. Elles présentent cette particularité tout à fait intéressante que tous les points matériels y subissent la même accélération ${\overline {g}}$. C’est dire qu’ils y sont soumis à des forces ${\overline {f}}$ proportionnelles à leurs masses d’inertie ${\displaystyle }$. La masse, coefficient d’inertie, est donc en même temps un coefficient de pesanteur ; pour comparer les masses de deux points matériels, il n’est alors pas nécessaire de mesurer des accélérations : il suffit de comparer leurs poids, ce qui se fait très simplement avec un peson ou avec une balance.

4. Systèmes matériels et forces intérieures. — On aura en général à considérer des systèmes matériels constitués par plusieurs points matériels ou même, en général, par un très grand nombre de points matériels. Ces points matériels peuvent être invariablement reliés les uns aux autres suivant des figures géométriques indéformables, et constituent alors un système solide. Ils peuvent constituer un système déformable, dont des exemples simples sont fournis par plusieurs balles de plomb que relient entre elles des fils de caoutchouc, ou même par plusieurs balles de plomb indépendantes les unes des autres (sauf lorsqu’elles se heurtent). Ils peuvent enfin s’identifier avec les innombrables molécules d’une masse fluide, dont on trouve des images grossières dans l’un ou l’autre des deux exemples précédents (suivant qu’elle est liquide ou gazeuse).

Quelle que soit la nature du système (solide, déformable ou fluide), on peut toujours, à chaque instant, définir son centre de gravité, de la façon suivante. Par chaque point materiel on mène des vecteurs tous parallèles entre eux et proportionnels aux masses (donc aussi aux poids) de chacun d’eux, et l’on construit la résultante géométrique de tous ces vecteurs. Lorsque l’ensemble de ces vecteurs tous parallèles entre eux prend toutes les directions possibles dans l’espace, la résultante pivote autour d’un point fixe. Ce point est le centre de gravité du système dans sa configuration actuelle.

Dans les forces qui s’exercent sur les points matériels constitutifs du système, il y a lieu de distinguer les forces ${\displaystyle }$ qu’ils exercent les uns sur les autres, ou forces intérieures, et les forces extérieures ${\displaystyle }$ exercées sur eux par des éléments extérieurs au système.

Ceci étant, l’étude du mouvement d’un système est basée sur le principe fondamental de l’égalité de l’action et de la réaction, en vertu duquel les forces intérieures sont deux à deux égales et opposées. C’est la généralisation d’un cas particulier à peu près évident : celui où les deux points matériels considérés agiraient l’un sur l’autre par le moyen d’un fil de caoutchouc tendu entre eux.

Ce principe essentiel entraîne un résultat fondamental corrélatif, c’est que les forces intérieures $\varphi$ n’ont aucune action sur le mouvement du centre de gravité du système, lequel obéit au principe de l’inertie. Il est rectiligne et uniforme (avec le cas particulier de l’immobilité) si les forces extérieures sont nulles ; et, dans le cas contraire, il n’est autre que celui que prendrait un point-matériel de masse égale à la somme des masses du système, soumis à la somme géométrique des forces extérieures $\mathrm {F} .$

5. Quantité de mouvement et force vive. — Ces notions fondamentales étant rappelées, on peut se proposer de préciser comment on traduira analytiquement la relation vectorielle fondamentale ${\overline {f}}=m{\overline {\gamma }}$ relative à chacun des points matériels du système.

Pour exprimer algébriquement cette relation vectorielle, il faut écrire les équations qui relient les projections de ces vecteurs sur les trois axes de coordonnées d’un trièdre de référence que nous prendrons trirectangle. On obtient alors

(3)

$f=m\gamma _{x}=m{\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d\left(mv_{x}\right)}{dt}}$(3)

ou

(4)

$f_{x}dt=d\left(mv_{x}\right)$(4)

et les deux équations analogues en projections sur les axes Ox et Oy. C’est la relation fondamentale des quantités de mouvement, que l’on énonce : En projection sur un axe quelconque, la variation élémentaire de la quantité de mouvement $mv_{x}$ d’un point matériel est égale à l’impulsion élémentaire $f_{x}dt$ de la force qui agit sur lui.

Si, après avoir écrit cette relation fondamentale pour chacun des points matériels d’un système, on additionne ensemble toutes les équations ainsi obtenues, dans la somme totale $\sum f_{x}$ les forces intérieures $\varphi ,$ deux à deux égales et opposées, s’annulent mutuellement ; cette somme se réduit donc à la somme des projections des forces extérieures $\mathrm {F} ,$ soit

(5)

$\sum \mathrm {F} _{x}dt=d\left(\sum mv_{x}\right)$(5)

et l’on obtient l’énoncé fondamental que :

En projection sur un axe quelconque, la variation élémentaire de la quantité de mouvement totale d’un système matériel est égale à la somme des impulsions élémentaires des forces extérieures, égale elle-même d’ailleurs à l’impulsion élémentaire de la somme géométrique (ou résultante) des forces extérieures.

Mais on peut chercher aussi à traduire la relation vectorielle ${\overline {f}}=m{\overline {\gamma }}$ par une relation analytique indépendante de tout choix d’axes de coordonnées. On y arrive facilement par une combinaison simple des équations (3) relatives aux axes de coordonnées. On écrira

$f_{x}dx=m{\frac {dv_{x}}{dt}}dx=mdv_{x}{\frac {dx}{dt}}=mv_{x}d\left(v_{x}\right)$

ou

(6)

$f_{x}dx={\frac {1}{2}}md\left(v_{x}^{2}\right)$(6)

d’où l’on tire par addition

$f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz={\frac {1}{2}}md\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)$

                                              $={\frac {1}{2}}md\left(v^{2}\right)=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).$

Mais le premier membre représente le produit du déplacement $dl$ par la projection sur lui de la force, ou inversement le produit de la force par la projection sur elle du déplacement, c’est-à-dire encore le produit de la force par le déplacement et par le cosinus de l’angle qu’ils font l’un avec l’autre ; on l’appelle le produit scalaire des deux vecteurs ${\overline {f}}$ et ${\overline {dl}}$ et on le représente par le symbole ${\overrightarrow {f}}.{\overrightarrow {dl}}$ Ce produit scalaire s’appelle le travail $d{\mathfrak {T}}$ de la force ${\overline {f}}$ dans le déplacement élémentaire ${\overline {dl}}.$ On écrira donc

(7)

$d{\mathfrak {T}}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)$(7)

que l’on énonce : la variation de la demi-force vive d’un point matériel est égale au travail de la force qui lui est appliquée. L’expression de force vive, consacrée par l’usage, est d’ailleurs malheureuse car cette grandeur n’a rien de commun avec une force ; il vaut mieux employer le terme énergie cinétique pour désigner la demi-force vive ${\frac {mv^{2}}{2}}.$

Si l’on fait l’addition des équations (7) relatives à tous les points matériels d’un système, on obtient au second membre la variation élémentaire de la somme de toutes les énergies cinétiques, autrement dit de l’énergie cinétique totale ; cette variation est égale à la somme des travaux de toutes les forces. Mais ici, l’égalité deux à deux des forces intérieures opposées, n’entraîne pas qu’elles donnent ensemble un travail total nul. Cette simplification est réalisée seulement lorsque la distance des deux points considérés reste invariable ; c’est le cas en particulier des systèmes indéformables.

Dans un système déformable, la variation de l’énergie cinétique totale est égale à la somme algébrique du travail total des forces extérieures et du travail total des forces intérieures

(8)

$\sum {\overline {\mathrm {F} }}{\overline {dl}}+\sum {\overline {\varphi }}{\overline {dl}}=d\left(\sum {\frac {mv^{2}}{2}}\right).$(8)

6. Énergie cinétique et Énergie potentielle. — Le principe de l’inertie, en vertu duquel la vitesse $v$ d’un point matériel abandonné à lui-même reste constante, entraîne que n’importe quelle fonction de cette seule vitesse $v$ reste constante lorsque la force agissante est nulle. Parmi ces fonctions, on voit, d’après le paragraphe précédent, l’intérêt que présente l’énergie cinétique $\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right),$ liée à la force agissante par la relation très simple qu’exprime l’équation (7).

D’après cette relation, lorsque l’énergie cinétique du point matériel diminue, c’est qu’il est soumis à une force $f$ qui produit un travail négatif, autrement dit qui absorbe du travail.

Si cette force $f$ est définie par un champ de forces permanent, il suffira que le point matériel revienne en sens inverse suivant le même parcours pour qu’elle produise un travail positif juste égal au travail absorbé, lequel entraîne une augmentation d’énergie cinétique juste égale à la diminution observée tout à l’heure. On dira alors tout naturellement que la perte cinétique avait été accompagnée d’une augmentation d’énergie potentielle égale au travail absorbé, donc égal à l’énergie cinétique disparue, et récupérable.

Le seul cas que nous aurons à envisager est celui où les composantes $f_{x},$ $f_{y}$ et $f_{z}$ de la force sont les dérivées partielles d’une certaine fonction des seules coordonnées $(x,\,y,\,z)$ du point matériel, que nous écrirons $-\mathrm {U} (xyz).$ Alors le travail de la force agissante

${\mathfrak {T}}=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz$

est égal à

$-\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}dz\right)$

c’est-à-dire qu’il se confond avec la diminution de la fonction $\mathrm {U} (xyz).$ Cette fonction $\mathrm {U}$ (définie à une constante additive près) n’est donc pas autre chose que l’énergie potentielle du point, liée seulement à son emplacement $(xyz).$ On a

$-d\mathrm {U} =d\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)$

ou

$d\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)+d\mathrm {U} =0$

ou encore

(9)

${\frac {1}{2}}mv^{2}+\mathrm {U} ={\text{const.}}$(9)(9)

La somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle reste constante. C’est le principe de la conservation de l’énergie mécanique d’un point matériel, lequel s’applique seulement si les frottements sont nuls ou négligeables, restriction tout à fait essentielle dont la signification sera précisée au Chapitre II.

Considérons par exemple le cas particulier du champ de pesanteur dans une région peu étendue ; il est uniforme, et, si l’axe Oz est dirigé verticalement vers le haut, on a

$d{\mathfrak {T}}=-mgdz,$        d’où        $d\mathrm {U} =mgdz$        ou        $\mathrm {U} =mgz.$

On a un exemple d’application de l’équation fondamentale (9) dans les oscillations du pendule simple, qui comportent des transformations périodiques d’énergie cinétique en énergie potentielle et inversement. En réalité le phénomène se complique, au moins en apparence, du fait qu’intervient, outre la force de pesanteur qui dérive du potentiel $mgz,$ la force exercée sur le point matériel par le fil tendu qui le retient sur sa trajectoire circulaire ; mais, comme cette force est à tout instant perpendiculaire sur le déplacement, elle ne produit aucun travail et n’altère en rien l’équation (9).

Si l’on considère un système matériel, on aura encore, par addition de toutes les équations (9) relatives aux divers points matériels qui le constituent, et sous la même restriction relative à l’absence de frottements, le résultat que la somme de l’énergie cinétique totale et de l’énergie potentielle totale reste constante. Il y a lieu de noter d’ailleurs que, si le système est déformable avec modification de distance entre les points qui exercent les uns sur les autres des forces intérieures, l’énergie potentielle pourra comporter une partie liée au travail absorbé par les forces intérieures. On l’appellera énergie potentielle interne pour la distinguer de l’énergie potentielle liée aux déplacements du système dans le champ des forces extérieures.