Œuvres de Lagrange/Pièces diverses/Éclaircissement d’une difficulté singulière qui se rencontre dans le calcul de l’attraction des sphéroïdes très peu différents de la sphère

Joseph-Louis Lagrange

Éclaircissement d’une difficulté singulière qui se rencontre dans le calcul de l’attraction des sphéroïdes très-peu différents de la sphère

Pièces diverses non comprises dans les recueils académiques, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VII (p. 363-374).

ÉCLAIRCISSEMENT

D’UNE DIFFICULTÉ SINGULIÈRE

QUI SE RENCONTRE

DANS LE CALCUL DE L’ATTRACTION DES SPHÉROÏDES
TRÈS-PEU DIFFÉRENTS DE LA SPHÈRE.

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(Journal de l’École Polytechnique, XV^e Cahier, t. VIII, 1809.)

D’Alembert est le premier qui ait donné le calcul de l’attraction des sphéroïdes non elliptiques, mais peu différents de la sphère, dans le second et le troisième volume de ses Recherches sur le système du Monde. M. Laplace a traité ensuite cette matière d’une manière nouvelle et plus générale qu’on ne l’avait fait, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1782, et dans le second volume de sa Mécanique céleste. Sa théorie est fondée sur un beau théorème très-remarquable par sa simplicité autant que par sa généralité ; mais ce théorème donne lieu à une difficulté singulière, qui paraît n’avoir encore été remarquée par personne, et qui mérite d’être examinée.

1. Soient, comme dans les Mémoires de 1782 (page 134) et dans la Mécanique céleste (tome II), $r$ la distance du point attiré au point pris pour centre du sphéroïde, $\theta$ l’angle que le rayon $r$ fait avec un axe fixe passant par le centre, $\varpi$ l’angle que le plan passant par cet axe et par le rayon $r$ fait avec le plan invariable passant par le même axe ; soit, de plus, $\mathrm {R}$ la distance d’une molécule du sphéroïde au centre, et soient $\theta ',$ $\varpi '$ ce que deviennent les angles $\theta ,\varpi$ relativement à cette molécule ; la distance de la molécule au point attiré sera ${\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R\mu +R} ^{2}}}\,;$ en faisant, pour abréger,

$\mu =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi '),$

la masse de la molécule sera $\mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} d\theta 'd\varpi '\sin \theta ',$ et, si l’on désigne par $\mathrm {V}$ la somme des molécules divisées par leurs distances au point attiré, on aura

$\mathrm {V} =\iiint {\frac {\mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R\mu +R} ^{2}}}},$

l’intégrale relative à $\mathrm {R}$ devant être prise depuis $\mathrm {R} =0$ jusqu’à la valeur de $\mathrm {R}$ à la surface du sphéroïde, l’intégrale relative à $\varpi '$ devant être prise depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '=360^{\circ },$ et celle qui est relative à $\theta '$ ou à $\mu ,$ depuis $\theta '=0$ jusqu’à $\theta '=180^{\circ }.$ La valeur de $\mathrm {V}$ étant ainsi déterminée, on aura ${\frac {d\mathrm {V} }{dr}},$ ${\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {V} }{d\theta }},\ {\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {d\mathrm {V} }{d\varpi }}$ pour les trois attractions du sphéroïde dans le sens du rayon $r,$ et perpendiculairement à ce rayon dans le plan de $r$ et $\mathrm {R} ,$ et dans un plan perpendiculaire à celui-ci.

2. Supposons maintenant que le sphéroïde soit très-peu différent d’une sphère dont le rayon soit égal à $a\,;$ on aura $\mathrm {R} =a(1+y'),$ $y'$ étant une fonction très-petite de sinus et cosinus de $\theta '$ et $\theta ',$ dont on négligera le carré et les puissances supérieures ; il est clair que la valeur de $\mathrm {V}$ sera égale à sa valeur relativement à la sphère, plus à la valeur relative à l’excès du sphéroïde sur la sphère. On sait, et il est facile de prouver que la première est égale à la masse de la sphère divisée par la distance $r\,;$ elle est ainsi exprimée par ${\frac {4\pi a^{3}}{3r}},$ en nommant $\pi$ l’angle de $180^{\circ }.$ Quant à la seconde, comme nous ne tenons compte que des premières dimensions de $y',$ il est aisé de voir qu’on l’aura en mettant, dans l’expression précédente de $\mathrm {V} ,$ $a$ à la place de $\mathrm {R} ,$ et $ay'$ à celle de $d\mathrm {R} .$ Ainsi, en nommant cette seconde partie $u,$ on aura

$\mathrm {V} ={\frac {4\pi a^{3}}{3r}}+u,\quad {\text{et}}\quad u=a^{3}\iint {\frac {y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2a\mu r+a^{2}}}},$

où il n’y a plus que deux intégrations à faire, l’une relative à $\varpi ',$ l’autre relative à $\theta '$ ou à $\mu .$

Je différentie maintenant, comme M. Laplace, par rapport à $r\,;$ j’ai

${\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {4\pi a^{3}}{3r^{4}}}+{\frac {du}{dr}}\,;$

or

${\frac {du}{dr}}=-a^{3}\iint {\frac {(r-a\mu )y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\left(r^{2}-2a\mu r+a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Lorsque le point attiré est à la surface du sphéroïde, on a $r=a(1+y),$ en désignant par $y$ ce que devient $y',$ lorsque $\theta '$ et $\varpi '$ deviennent $\theta$ et $\varpi \,;$ mais, comme nous négligeons dans $u$ les quantités du second ordre, il suffit de faire $r=a.$ On aura ainsi

$u={\frac {a^{2}}{\sqrt {2}}}\iint {\frac {y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {1-\mu }}},$

${\frac {du}{dr}}=-{\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\iint {\frac {(1-\mu )y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{(1-\mu )^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {a}{2{\sqrt {2}}}}\iint {\frac {y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {1-\mu }}}\,;$

donc

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,$

équation qui doit avoir lieu à la surface du sphéroïde.

Donc on aura aussi à cette surface

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}={\frac {2\pi a^{3}}{3r}}-{\frac {4\pi a^{4}}{3r^{2}}},$

où il faut faire $r=a(1+y),$ ce qui donnera

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}}+2\pi a^{2}y.$

M. Laplace trouve ${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}},$ parce qu’il suppose que la sphère touche le sphéroïde, auquel cas $y=0.$

3. Considérons l’équation ${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,$ qui est indépendante de la valeur de $y'$ dans $u,$ et supposons d’abord $y'$ constant ; on aura

$u=a^{3}y\iint {\frac {d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}.$

Il est facile d’avoir l’intégrale de ${\frac {d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}\,;$ car, en transportant l’axe ou le pôle des angles $\varpi ',\theta '$ dans la ligne $r,$ ce qui est permis, puisque cette ligne est fixe par rapport aux mêmes angles, on a $\theta =0,$ ce qui donne $\mu =\cos \theta '$ et réduit la différentielle dont il s’agit à

$-{\frac {d\varpi 'd\mu }{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}},$

laquelle doit être intégrée depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '=2\pi ,$ et depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1.$ La première intégration donne

$-{\frac {2\pi d\mu }{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}\,;$

la seconde donne d’abord

${\frac {2\pi {\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}{ra}},$

et, complétant,

${\frac {2\pi (r+a)}{ra}}-{\frac {2\pi (r-a)}{ra}}={\frac {4\pi }{r}}.$

Ainsi l’on a

$u={\frac {4\pi a^{3}y}{r}},$

et de là

${\frac {du}{dr}}=-{\frac {4\pi a^{3}y}{r^{2}}}\,;$

et, faisant $r=a,$

$u=4\pi a^{2}y,\quad {\frac {du}{dr}}=-4\pi ay\,;$

mais ces valeurs ne satisfont pas à l’équation

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,$

car elles donnent

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2\pi a^{2}y.$

4. Nommons $\rho ,$ pour abréger, le radical

${\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}},$

en sorte que l’on ait $u=a^{3}\iint \rho y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '\,;$ comme $r$ n’est contenue que dans $\rho ,$ on aura

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=a^{3}\iint \left({\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}\right)y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$

en faisant $r=a$ après la différentiation. Or

${\frac {d\rho }{dr}}={\frac {a\mu -r}{\left(r^{2}-2a\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

faisant $r=a,$ on a

$\rho ={\frac {1}{a{\sqrt {2}}(1-\mu )}},\quad {\frac {d\rho }{dr}}={\frac {-1}{2a^{2}{\sqrt {2}}(1-\mu )}}\,;$

donc ${\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}=0,$ équation identique.

Si l’on réduit, comme l’a fait M. Laplace, le radical $\rho$ en une série descendante par rapport à $r,$ on aura

$\rho ={\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots ,$

$r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}-{\frac {2a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}-{\frac {3a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}-\ldots ,$

d’où résulte

${\frac {1}{2}}\rho +r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {3a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {5a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{\mathrm {R} ^{3}}}+\ldots \right),$

et, faisant $r=a,$

${\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2a}}\mathrm {\left(R^{(0)}+3R^{(1)}+5R^{(2)}+\ldots \right)} ,$

série dans laquelle tous les termes doivent se détruire d’eux-inémes ; ce qu’on trouve, en effet, après la substitution des valeurs, de $\mathrm {R} ^{(0)},\mathrm {R} ^{(1)},\ldots$ en fonction de $\mu .$

On n’a pas besoin, pour s’en convaincre, d’effectuer ces substitutions ; car, puisque $\rho =\left(r-2ar\mu +a^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$ on aura

$\rho {\sqrt {r}}=\left(r+{\frac {a^{2}}{r}}-2a\mu \right)^{-{\frac {1}{2}}},$

et, différentiant par rapport à $r,$

${\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}\rho +{\frac {d\rho }{dr}}{\sqrt {r}}=-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\left(r+{\frac {a^{2}}{r}}-2a\mu \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,;$

donc, multipliant par ${\sqrt {r}},$

${\frac {1}{2}}\rho +r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {r^{2}-a^{2}}{2\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {\left(r^{2}-a^{2}\right)\rho }{2\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)}}\,;$

de sorte qu’on aura identiquement

${\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {3a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {5a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots =$

${\frac {1-{\cfrac {a^{2}}{r^{2}}}}{1-{\cfrac {2a\mu }{r}}+{\cfrac {a^{2}}{r^{2}}}}}\left({\frac {\mathrm {R} ^{(0)}}{r}}+{\frac {a\mathrm {R} ^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {a^{2}\mathrm {R} ^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots \right)\,;$

par conséquent, en faisant $r=a,$ la série $\mathrm {R^{(0)}+3R^{(1)}+5R^{(2)}} +\ldots$ sera nécessairement nulle.

5. La fonction ${\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}$ de $\mu$ est donc toujours identiquement nulle ; donc l’intégrale de cette fonction, multipliée par $y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ étant supposée nulle, lorsque $\varpi '=0$ et $\theta '=0,$ devrait être toujours nulle par les principes du Calcul intégral, suivant lesquels l’intégrale est regardée comme la somme de toutes les valeurs successives de la différentielle. Ainsi l’on devrait avoir toujours l’équation ${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0$ que nous avons trouvée d’abord ; cependant nous venons de voir que, dans le cas le plus simple, où $y'$ est constant, on a

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2\pi a^{2}y,$

ce qui est un paradoxe dans le Calcul intégral.

6. Pour en trouver l’explication, je vais reprendre l’analyse qui a donné l’équation ${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0,$ et je ferai d’abord le calcul sans rien négliger. Puisque $u=a^{3}\iint \rho y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et que la quantité $r$ n’est contenue que dans l’expression de $\rho ,$ il n’y a nul doute qu’en différentiant par rapport à $r,$ on n’ait

${\frac {du}{dr}}=a^{3}\iint {\frac {d\rho }{dr}}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.$

Or

${\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {r-a\mu }{\left(r^{2}-2ra\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

donc

$r{\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}}-{\frac {r^{2}-a^{2}}{2\left(r^{2}-2ra\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {\rho }{2}}-{\frac {\left(r^{2}-a^{2}\right)\rho ^{3}}{2}}\,;$

donc on aura

${\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {a^{3}\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2}}\iint \rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.$

On voit ici, en effet, qu’en faisant $r=a,$ le second terme de l’équation disparaît, et qu’on a rigoureusement, quel que soit $y',$ l’équation

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=0.$

Donc, puisque d’un autre côté la valeur de ${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}$ n’est pas toujours

nulle, il faut que le terme multiplié par $r^{2}-a^{2}$ ne disparaisse pas toujours en faisant $r=a.$

7. Pour aller du plus simple au plus composé, nous commencerons par examiner le cas où $y'$ est une quantité constante. Dans ce cas, on n’a qu’à chercher l’intégrale de $\rho ^{3}d\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et, pour cela, nous pouvons supposer, comme dans le n^o 3, l’angle nul, ce qui donne $\mu =\cos \theta '$ et $d\mu =-\sin \theta 'd\theta '\,;$ de sorte que la différentielle dont il s’agit deviendra

$-{\frac {d\varpi 'd\mu }{\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Intégrant d’abord par rapport à $\varpi ',$ on a

$-{\frac {2\pi d\mu }{\left(r^{2}-2ar\mu +a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

intégrant ensuite par rapport à $\mu ,$ on a

${\frac {-2\pi }{ar{\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}}}\,;$

et, complétant depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ on aura l’intégrale complète

${\frac {-2\pi }{ar(r+a)}}+{\frac {2\pi }{ar(r-a)}}={\frac {4\pi }{r\left(r^{2}-a^{2}\right)}}.$

Ainsi la valeur complète de $\iint \rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ lorsque $y'$ est constant, est ${\frac {4\pi y'}{r\left(r^{2}-a^{2}\right)}},$ quelle que soit la valeur de $r.$ Substituant cette valeur dans l’équation du numéro précédent, on aura

${\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {2\pi a^{3}y'}{r}}.$

Si maintenant on fait $r=a,$ elle devient

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y',$

comme on l’a trouvée dans le n^o 3, les quantités $y'$ et $y$ étant ici les mêmes.

8. Considérons maintenant le cas général dans lequel $y'$ est supposé une fonction de sinus et de cosinus des angles $\varpi '$ et $\theta '\,;$ on aura à intégrer la quantité $3\rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et, pour cela, nous transporterons aussi, comme dans le n^o 3, l’axe ou le pôle des angles variables $\varpi ',\theta ',$ qui déterminent la position de chaque molécule sur la sphère, dans la ligne $r$ menée du centre au point attiré. Nommons $\varphi$ et $\psi$ ce que deviennent alors les angles $\varpi '$ et $\theta '\,;$ on aura également $d\varphi d\psi \sin \psi$ pour l’élément $d\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$ et $\cos \psi$ pour la valeur de $\mu \,;$ de sorte que la différentielle dont il s’agit deviendra $-\rho ^{3}y'd\varphi d\mu ,$ qu’il faudra intégrer depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =2\pi ,$ et depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1.$

Mais, comme $y'$ est supposé fonction de sinus et cosinus des angles $\varpi '$ et $\theta ',$ qui ont leur pôle dans un axe fixe indépendant de la position du point attiré ou de la ligne $r,$ il faudra substituer dans $y',$ à la place des sinus et cosinus de $\varpi '$ et $\theta ',$ leurs valeurs en sinus et cosinus de $\varphi$ et $\psi .$ Pour cela, il n’y a qu’à considérer le triangle sphérique qui a les angles $\theta ,\theta '$ et $\psi$ pour ses trois côtés, et dans lequel $\varpi -\varpi '$ est l’angle opposé au côté $\psi ,$ et $\varphi$ est l’angle opposé au côté $\theta ',$ et les formules connues de la Trigonométrie sphérique donneront

${\begin{aligned}&\cos \theta '=\cos \theta \cos \psi +\sin \theta \sin \psi \cos \varphi ,\\&\sin \theta '\sin(\varpi -\varpi ')=\sin \psi \sin \varphi ,\\&\sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')=\sin \theta \cos \psi -\cos \theta \sin \psi \cos \varphi .\end{aligned}}$

Ainsi la formule $\rho ^{3}y'd\varphi d\mu$ sera intégrable toutes les fois que $y'$ sera une fonction rationnelle et entière de $\cos \theta ',\ \sin \theta '\sin \varpi ',\ \sin \theta '\cos \varpi ',$ parce que l’intégrale relative à $\varphi$ fera disparaître toutes les puissances impaires du sinus. C’est ainsi que d’Alembert a calculé l’attraction des sphéroïdes peu différents de la sphère ; mais pour notre objet il suffit d’avoir réduit l’intégration de la formule $\rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '$ à celle de la formule $-\rho ^{3}y'd\varphi d\mu .$

9. Commençons par l’intégration relative à $\mu \,;$ la différentielle $y'\rho ^{3}d\mu ,$ intégrée par parties, donne

$y'\int \rho ^{3}d\mu -\int {\frac {dy'}{d\mu }}\left(\int \rho ^{3}d\mu \right)d\mu .$

Or

$\rho ={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}},$

donc

$\int \rho ^{3}d\mu ={\frac {\rho }{ar}},$

de sorte que l’intégrale dont il s’agit deviendra

${\frac {y'\rho }{ar}}-\int {\frac {dy'}{d\mu }}{\frac {\rho d\mu }{ar}}.$

Comme l’intégration doit s’étendre depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ et qu’à la première de ces limites $y'$ devient $y,$ si l’on nomme $\mathrm {Y}$ ce que $y'$ devient à la seconde limite, la valeur complète du terme ${\frac {y'\rho }{ar}}$ hors du signe sera

${\frac {\mathrm {Y} }{ar(r+a)}}-{\frac {y}{ar(r-a)}}.$

Or, $y$ et $\mathrm {Y}$ répondant à $\psi =0$ et $\psi =\pi ,$ à cause de $\mu =\cos \psi ,$ auxquels cas $\varpi '$ et $\theta '$ deviennent $\varpi$ et $\theta ,$ il est visible que ces quantités seront indépendantes de $\varphi \,;$ ainsi l’intégration relative à $\varphi ,$ depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =2\pi ,$ exécutée sur le même terme, donnera

${\frac {2\pi \mathrm {Y} }{ar(r+a)}}-{\frac {2\pi y}{ar(r-a)}}.$

On pourra donc substituer dans l’équation en $u$ dun^o 6, à la place de $\iint \rho ^{3}y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '$ la quantité

${\frac {2\pi y}{ar(r-a)}}-{\frac {2\pi \mathrm {Y} }{ar(r+a)}}+\iint {\frac {dy'}{d\mu }}{\frac {\rho d\mu d\varphi }{ar}},$

ce qui la changera en celle-ci

${\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {a^{2}\pi (r+a)y}{r}}+{\frac {a^{2}\pi \mathrm {Y} (r-a)}{r}}-{\frac {a^{3}\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2ar}}\iint {\frac {y'}{\mu }}\rho d\mu d\varphi ,$

dans laquelle il faut faire maintenant $r=a,$ ce qui la réduit à celle-ci

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y,$

comme dans les cas où $y$ est constant.

Il est bon de remarquer qu’une nouvelle intégration par parties, exécutée sur la différentielle ${\frac {dy'}{d\mu }}\rho d\mu ,$ n’ajouterait rien à l’équation que nous venons de trouver ; car, l’intégrale de $\rho d\mu$ étant

$-{\frac {1}{ar\rho }}=-{\frac {\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}{ar}},$

il n’en peut résulter aucun terme où le facteur $r-a,$ qui devient nul lorsque $r=a,$ soit détruit par la division.

10. Maintenant, puisque $\mathrm {V} ={\frac {4\pi a^{3}}{3r}}+u$ (2), on aura

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}={\frac {2\pi a^{3}}{3r}}-{\frac {4\pi a^{4}}{3r^{2}}}+{\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}\,;$

faisant $r=a(1+y)$ pour avoir l’attraction sur un point à la surface du sphéroïde, on aura

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}}+2\pi a^{2}y+{\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}},$

en négligeant les $y^{2}.$ Mais nous venons de trouver

${\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y\,;$

ainsi l’on a, aux quantités du second ordre près,

${\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}},$

comme M. Laplace l’a trouvé. Au reste, il est bien remarquable que le terme $2\pi a^{2}y,$ dû à l’action de la sphère sur un point élevé au-dessus

de sa surface de la quantité $ay,$ et par lequel l’équation que nous avions trouvée (2) différait de celle de M. Laplace, se trouve précisément détruit par la valeur de l’intégrale de la différentielle

$a^{3}\left({\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}\right)y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta ',$

dans laquelle le facteur ${\frac {1}{2}}\rho +a{\frac {d\rho }{dr}}$ est toujours identiquement nul.