NOTES
sur
QUELQUES POINTS D’ANALYSE ([1]).
§ I. — Démonstration d’un théorème d’Analyse.
Théorème. — Soient
et
deux fonctions quelconques données ; on aura, quels que soient
et
,
étant une fonction déterminée, et
une quantité intermédiaire entre
et
.
Démonstration. — Posons, en effet,
on en déduira
d’où l’on voit que la fonction
ne change pas quand on y change
en
; d’où il suit qu’à moins qu’elle ne reste constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans des cas particuliers, cette fonction aura, entre
et
, un ou plusieurs maxima et minima. Soit
la valeur de
répondant à l’un d’eux ; on aura évidemment
,
étant une fonction déterminée ; donc on doit avoir aussi
,
étant une autre fonction également déterminée ; ce qui démontre le théorème.
De là on peut conclure, comme corollaire, que la quantité
![{\displaystyle \operatorname {lim.} {\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cf6d626fc30ecac64fb526311326fb5de41e58)
pour
![{\displaystyle h=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe239e1050529410001cc1c0b3245945bc69709)
, est nécessairement une fonction de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
, ce qui démontre,
a priori, l’existence des fonctions dérivées.
§ II. — Rayon de courbure des courbes de l’espace.
Le rayon de courbure d’une courbe en l’un quelconque de ses points
est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’intersection du plan normal au point
avec le plan normal consécutif, comme il est aisé de s’en assurer par des considérations géométriques.
Cela posé, soit
un point de la courbe ; on sait que le plan normal en ce point aura pour équation
(N)
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étant les symboles des coordonnées courantes. L’intersection de ce plan normal avec le plan normal consécutif sera donnée par le système de cette équation et de la suivante
(I)
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attendu que
Or, il est aisé de voir que le plan (I) est perpendiculaire au plan (N), car on a
donc la perpendiculaire abaissée du point
sur l’intersection des deux plans (N) et (I) n’est autre chose que la perpendiculaire abaissée du même point sur le plan (I). Le rayon de courbure est donc la perpendiculaire abaissée du point
sur le plan (I). Cette considération donne, très simplement, les théorèmes connus sur les rayons de courbure des courbes dans l’espace.