Œuvres mathématiques/4

Évariste Galois

Œuvres mathématiques

Gauthier-Villars, 1897 (p. 13-14).

NOTE
sur la
RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES (^[1]).

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M. Legendre a le premier remarqué que, lorsqu’une équation algébrique était mise sous la forme

$\varphi x=x,$

où $\varphi x$ est une fonction de $x$ qui croît constamment en même temps que $x$, il était facile de trouver la racine de cette équation immédiatement plus petite qu’un nombre donné $a$, si $\varphi a<a$, et la racine immédiatement plus grande que $a$, si $\varphi a>a$.

Pour le démontrer, on construit la courbe $y=\varphi x$ et la droite $y=x$. Soit prise une abscisse $=a$, et supposons, pour fixer les idées, $\varphi a>a$, je dis qu’il sera aisé d’obtenir la racine immédiatement supérieure à $a$. En effet, les racines de l’équation $\varphi x=x$ ne sont que les abscisses des points d’intersection de la droite et de la courbe, et il est clair que l’on s’approchera du point le plus voisin d’intersection en substituant à l’abscisse $a$ l’abscisse $\varphi a$. On aura une valeur plus approchée encore en prenant $\varphi \varphi a$, puis $\varphi \varphi \varphi a$ et ainsi de suite.

Soit $\mathrm {F} x=0$ une équation donnée du degré $n$, et $\mathrm {F} x=\mathrm {X} -\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ n’ayant que des termes positifs. Legendre met successivement l’équation sous ces deux formes :

$x=\varphi x={\sqrt[{n}]{\frac {\mathrm {X} }{\left({\frac {\mathrm {Y} }{x^{n}}}\right)}}},\quad x=\psi x={\sqrt[{n}]{\frac {\mathrm {X} }{\left({\frac {x^{n}}{\mathrm {Y} }}\right)}}};$

les deux fonctions $\varphi x$ et $\psi x$ sont toujours, comme on voit, l’une plus grande, l’autre plus petite que $x$. Ainsi, à l’aide de ces deux fonctions, on pourra avoir les deux racines de l’équation les plus approchées d’un nombre donné $a$, l’une en plus et l’autre en moins.

Mais cette méthode a l’inconvénient d’exiger, à chaque opération, l’extraction d’une racine $n$^ième. Voici deux formes plus commodes. Cherchons un nombre $k$ tel que la fonction

$x+{\frac {\mathrm {F} x}{kx^{n}}}$

croisse avec $x$, quand $x>1$. (Il suffit, en effet, de savoir trouver les racines d’une équation qui sont plus grandes que l’unité.)

Nous aurons, pour la condition proposée,

$1+{\frac {d{\frac {\mathrm {X} -\mathrm {Y} }{kx^{n}}}}{dx}}>0,\quad {\text{ou bien}}\quad 1-{\frac {n\mathrm {X} -x\mathrm {X} '}{kx^{n+1}}}+{\frac {n\mathrm {Y} -x\mathrm {Y} '}{kx^{n+1}}}>0;$

or on a identiquement

$n\mathrm {X} -x\mathrm {X} '>0,\quad n\mathrm {Y} -x\mathrm {Y} '>0;$

il suffit donc de poser

${\frac {n\mathrm {X} -x\mathrm {X} '}{kx^{n+1}}}<1\quad {\text{pour}}\quad x>1,$

et il suffit, pour cela, de prendre pour $k$ la valeur de la fonction $n\mathrm {X} -x\mathrm {X} ',$ relative à $x=1$.

On trouvera de même un nombre $h$ tel que la fonction

$x-{\frac {\mathrm {F} x}{hx^{n}}}$

croîtra avec $x$, quand $x$ sera $>1$, en changeant $\mathrm {Y}$ en $\mathrm {X}$.

Ainsi, l’équation donnée pourra se mettre sous l’une des formes

$x=x+{\frac {\mathrm {F} x}{kx^{n}}},\quad x=x-{\frac {\mathrm {F} x}{hx^{n}}},$

qui sont toutes deux rationnelles et donnent pour la résolution une méthode facile.

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1. Bulletin des Sciences mathématiques de M. Férussac, t. XIII, p. 413 (année 1830, cahier de juin). (J. Liouville.)