Œuvres mathématiques/4

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Gauthier-Villars (p. 13-14).

NOTE
sur la
RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES ([1]).


M. Legendre a le premier remarqué que, lorsqu’une équation algébrique était mise sous la forme


est une fonction de qui croît constamment en même temps que , il était facile de trouver la racine de cette équation immédiatement plus petite qu’un nombre donné , si , et la racine immédiatement plus grande que , si .

Pour le démontrer, on construit la courbe et la droite . Soit prise une abscisse , et supposons, pour fixer les idées, , je dis qu’il sera aisé d’obtenir la racine immédiatement supérieure à . En effet, les racines de l’équation ne sont que les abscisses des points d’intersection de la droite et de la courbe, et il est clair que l’on s’approchera du point le plus voisin d’intersection en substituant à l’abscisse l’abscisse . On aura une valeur plus approchée encore en prenant , puis et ainsi de suite.

Soit une équation donnée du degré , et et n’ayant que des termes positifs. Legendre met successivement l’équation sous ces deux formes :


les deux fonctions et sont toujours, comme on voit, l’une plus grande, l’autre plus petite que . Ainsi, à l’aide de ces deux fonctions, on pourra avoir les deux racines de l’équation les plus approchées d’un nombre donné , l’une en plus et l’autre en moins.

Mais cette méthode a l’inconvénient d’exiger, à chaque opération, l’extraction d’une racine ième. Voici deux formes plus commodes. Cherchons un nombre tel que la fonction


croisse avec , quand . (Il suffit, en effet, de savoir trouver les racines d’une équation qui sont plus grandes que l’unité.)

Nous aurons, pour la condition proposée,


or on a identiquement


il suffit donc de poser


et il suffit, pour cela, de prendre pour la valeur de la fonction relative à .

On trouvera de même un nombre tel que la fonction


croîtra avec , quand sera , en changeant en .

Ainsi, l’équation donnée pourra se mettre sous l’une des formes


qui sont toutes deux rationnelles et donnent pour la résolution une méthode facile.



  1. Bulletin des Sciences mathématiques de M. Férussac, t. XIII, p. 413 (année 1830, cahier de juin). (J. Liouville.)