GÉOMÉTRIE.
Lieu aux sections coniques, relatif au problème traité
à la page 302 du premier volume des Annales.
Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Le problème proposé à la page 232 du 1.er
volume des Annales,
relativement à deux canaux rectilignes, a été discuté, d’une manière
très-intéressante par M. Tedenat, à la page 302 du même volume.
Cette discussion m’a engagé à présenter la question sous un autre point de vue, et à rechercher le lieu des points de chacun desquels
abaissant des perpendiculaires sur deux droites données de position,
et menant une droite à un point donné, la somme de ces perpendiculaires et de cette droite soit d’une grandeur constante.
Lemme. Soient deux droites données de position, et soient, deux
droites correspondantes données de grandeur. D’un point quelconque,
pris sur le plan de ces droites, soient abaissées sur elles des perpendiculaires. Soient pris les rectangles de ces perpendiculaires par
les droites correspondantes données de grandeur, et soit prise la somme
de ces rectangles.
On peut substituer à cette somme le rectangle de la perpendiculaire
abaissée du même point sur une droite à déterminer de position par
une droite à déterminer de grandeur de la manière suivante :
Soient
et
(fig. 2) deux droites données de grandeur et de
position qui se coupent en
. Soit prolongée
au-delà de
d’une
quantité
soit menée
, et soit coupée cette droite en deux
parties égales au point
; enfin soit menée
, cette dernière droite sera la droite à déterminer de position, et son double sera la droite
à déterminer de grandeur ; c’est-à-dire, que, si d’un point quelconque
on abaisse sur
, les perpendiculaires
,
on a l’équation
[1]
En particulier, si les droites
et
sont égales entre elles, la
droite
coupe en deux parties égales l’angle
, et elle est
perpendiculaire à la droite qui coupe en deux parties égales l’angle
. L’expression de
est alors
, et on a
Cette proposition n’est qu’un cas particulier d’une propriété générale du centre des moyennes distances, que j’ai développée dans mes
Élémens d’analise, etc., pag., 52-59.
Application. Soient deux droites qui se coupent données de position, et soit un point donné de position. On propose de trouver le
lieu des points de chacun desquels abaissant des perpendiculaires
sur les droites données de position, et menant une droite au point
donné, la somme de ces perpendiculaires et de cette droite soit donnée
de grandeur.
Soient
et
(fig. 3) deux droites données de position, se
coupant en
Soit
un point dpnné de position. Soit
un point
duquel on abaisse sur
et
, les perpendiculaires
,
et on mène la droite
. Que la somme
soit
donnée de grandeur ; on demande le lieu du point
?
Par le point
soit menée la droite
qui divise en deux parties
égales l’angle de suite de l’angle
. Soit aussi
perpendiculaire à
. Par le lemme précèdent
; donc
la somme
est donnée de grandeur. Soit
la droite qui divise en deux parties égales l’angle
et sur
soient abaissées les perpendiculaires
et
.
Première supposition. Que la somme donnée soit
On
aura
d’où.
1.o Soit
ou que l’angle
vaille le tiers de deux droits
(fig. 3) ; on aura
; partant le lieu du point
est une
droite donnée de position, menée par
parallèlement à celle qui
divise l’angle
en deux parties égales.
2.o Puisque
.(fig.4) n’est pas plus petit que
;
n’est pas plus petit que l’unité, et partant l’angle
ne peut pas être
plus petit que le tiers de deux droits. Soit donc
; on a
Le lieu des points
est donc une droite menée
par
et rencontrant
sous un angle dont le cosinus est
Seconde supposition. Que la somme donnée soit différente de
; soit cette somme égale à
Puisque
on aura![{\displaystyle \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {MC} =2\mathrm {DQ} .Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca31b4a84a1803b954abfb51db3870259d003a3)
ou![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {MC:DQ} =2Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} :1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6f198386cbb4e10766c39a9d42eb605d1ff0b5)
1.o Soient
on aura
. Ainsi le lieu des points
est alors une parabole dont
est le foyer, et dont la directrice
est la perpendiculaire élevée du point
à la droite
.
2.o Soit
on aura aussi
; et le rapport de
à
sera un rapport constant. Le lieu des points
sera donc
alors une ellipse ayant le point
pour un de ses foyers et dont
la directrice correspondant à ce foyer sera la perpendiculaire élevée
du point
à la droite
.
3.o Soit enfin
on aura aussi
et en rapport
constant. Le lieu des points
sera donc une hyperbole dont le
point
sera l’un des foyers et dont la directrice correspondant à ce foyer sera la perpendiculaire élevée du point
à la droite
.
Remarque I. On peut substituer aux droites dont on prend la somme de leurs rectangles par des droites données.
Remarque II. On peut aussi généraliser cette recherche, et l’étendre à un nombre quelconque de droites données de position, qui partent ou non d’un même point ; vu que le lemme sur lequel la proposition repose, s’étend à un nombre quelconque de droites données de position sur un plan.
Remarque III. Aux droites données de position sur un plan, on peut substituer des plans donnés de position, qui se coupent ou non en un même point ; vu que le lemme sur lequel la proposition est fondée, s’étend à des plans donnés de position. (Voyez l’ouvrage déjà cité, pag. 150-155). Le lieu cherché dans l’espace est un plan ou une surface de révolution du second ordre.
Remarque IV. Comme la comparaison des méthodes est un des points les plus importans dans les sciences de raisonnement, je crois devoir ajouter ici le procédé fondé sur la doctrine des coordonnées.
Que les équations des droites données soient,
![{\displaystyle x\operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\alpha =d,\quad x\operatorname {Cos} .\alpha '+y\operatorname {Sin} .\alpha '=d'~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14918bba4627f107c79bb45b6b9a8c65249c695)
que les coordonnées du point donné soient
et
; que les coordonnées du point cherché soient
et
.
Les perpendiculaires abaissées du point cherché sur les droites données sont,
![{\displaystyle x\operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\alpha -d,\quad x\operatorname {Cos} .\alpha '+y\operatorname {Sin} .\alpha '-d'~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a74afb35afd13f8ad242539f2cc1f28f31b29e)
La distance du point donné au point cherché est
![{\displaystyle {\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97cc1e93e6e8c380bb123b21b5e88f9315b1048)
soit enfin
la somme constante donnée, l’équation du lieu géométrique des points
sera
![{\displaystyle x(\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\alpha ')+y(\operatorname {Sin} .\alpha +\operatorname {Sin} .\alpha ')+{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}=s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945f5b642a74670c63dd56b12c495a3b996bc3ee)
Si l’on désigne par
l’angle des deux droites données, cette équation deviendra
![{\displaystyle 2x\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(a+a')+2y\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(a+a')+{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}=s~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e3c3212ef733bfd6fb5cefa36c23c6e16249ec)
d’où on conclura, en transposant et quarrant
![{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\left\{{\begin{aligned}s^{2}&-4sx\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')\\&-4sy\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')\\&+8xy\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')\\&+4x^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')\\&+4y^{2}\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ead070d29f3a50338bbaa6c1704654671af91d)
ou en développant et ordonnant
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x^{2}&\left\{4\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')-1\right\}\\+8xy&\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ').\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')\\+y^{2}&\left\{4\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')-1\right\}\\-2x&\left\{a-2s.\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')\right\}\\-2y&\left\{b-2s.\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\phi .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\alpha ')\right\}\\\end{aligned}}\right\}=\mathrm {S} ^{2}-(a^{2}+b^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94620a3c46e460bcbf2fbe1b94369ea5754af35)
Remarque V. Que le point cherché doive être situé sur la circonférence d’un cercle donné dont le point donné est le centre ; la somme des perpendiculaires abaissées du point cherché sur les droites données de position sera susceptible de limites, soit en grandeur, soit en petitesse ; et on déterminera ces limites comme il suit.
Du point donné soit abaissée une perpendiculaire sur la droite qui divise en deux parties égales l’angle de suite de l’angle
; les points dans lesquels cette perpendiculaire rencontrera la circonférence du cercle, seront les points auxquels répondront la plus grande et la plus petite valeurs des sommes de perpendiculaires abaissées sur les droites données de position.