GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Relation entre le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers
inscrits à une même sphère ;
Par M. Flaugergues, astronome, correspondant de la
première classe de l’institut.
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Théorème. Soit (fig. 1) une ligne coupée en moyenne et extrême raison au point ( étant la médiane). Je dis que l’angle solide du dodécaèdre est à l’angle solide de l’icosaèdre[1] comme est à ; ces deux corps étant supposés inscriptibles à la même sphère[2].
Démonstration I. Imaginons (fig. 2) trois pyramides dont le sommet commun soit au centre de la sphère, qui aient pour bases trois faces contiguës à un angle solide du dodécaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart de ce solide. Ayant tiré les lignes imaginons des plans qui passent par
ces lignes et par le centre ; on aura trois pyramides triangulaires,
et chacune de ces pyramides étant à la pyramide pentagonale comme
le triangle est au pentagone le solide formé par
ces trois pyramides réunies, et qui est composé de deux pyramides
opposées qui ont pour base commune le triangle et dont les
axes sont sur le rayon perpendiculaire à cette base, est au quart
du dodécaèdre dans la même raison.
Cela posé, nommons, la surface du pentagone ; nommons la solidité de la pyramide ou de l’angle solide ;
nommons, la solidité de la pyramide ; nommons enfin
la solidité du dodécaèdre et le diamètre de la sphère circonscrite.
Du centre du pentagone ayant tiré les rayons le dernier coupant en on aura
donc, componendo
mais, par la propriété du cercle,
donc
puis donc que
:
on aura
Soit présentement abaissée du point dans le plan la
perpendiculaire sur ; puisque la ligne est inscrite à
la sphère, on aura
de plus
donc componendo
II. Imaginons (fig. 3) cinq pyramides qui aient leur sommet
commun au centre de la sphère, pour bases les faces contiguës
de l’icosaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart
de ce solide. Ces pyramides formeront, par leur réunion un solide
composé de deux pyramides opposées qui ont pour
base commune le pentagone et dont les axes sont sur le
rayon perpendiculaire à cette base.
Cela posé, nommons la solidité de l’icosaèdre, celle de la
pyramide ou de l’angle solide et celle de la pyramide
; ayant tiré, dans le plan la perpendiculaire sur et désignant toujours par le diamètre de la sphère ; la
corde inscrite donnera
mais on a
d’où, componendo
III. On a donc
c’est-à-dire,
mais 1.o (Euclide XIV. 7 et XIII. 18)
2.o (Euclide XIII, 12)
3.o (Euclide XIII. 9. 10 et XIV. 11)
multipliant toutes ces proportions par ordre, et simplifiant, il viendra
[3]