GÉOMÉTRIE.
Note sur le problème de l’inscription de trois cercles à
un triangle, traité à la page 343 du premier volume
des Annales ;
Par les Rédacteurs des Annales.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Plusieurs géomètres, n’ayant pas sous la main les derniers volumes
des Mémoires de la société italienne, ont manifesté le désir de connaître, par la voie des Annales, l’analise qui a conduit M. Malfatti
à l’élégante construction à laquelle il est parvenu, pour l’inscription de
trois cercles à un triangle. Les rédacteurs, dans la vue de répondre
à leur vœu, se sont adressés à M. Bidone qui a bien voulu leur faire
parvenir un extrait de la solution de M. Malfatti. Malheureusement
cette solution est peu propre à éclairer sur les moyens par lesquels
l’auteur l’a obtenue ; elle se réduit uniquement, en effet, à former
les équations du problème et les valeurs des inconnues, et à prouver
ensuite, à l’aide des relations entre les données, que les dernières satisfont aux premières. M. Bidone termine ainsi son extrait :
« Tel est le précis de la solution de M. Malfatti, qu’il dit avoir
converti en un théorème, comme on le voit par ses procédés, pour
la présenter sous une forme plus simple, et pour ne pas être obligé
d’exposer le nombre de calculs qu’il a sans doute dû faire pour
arriver à cette construction, en cherchant à résoudre directement le
problème. M. Malfatti n’indique nullement la trace qu’il a suivie
pour parvenir aux valeurs des inconnues, et l’on peut dire que son
mémoire est tout renfermé dans ce précis, à quelques développemens près ».
Au lieu de vérifier les valeurs des inconnues sur les équations de
M. Malfatti, les rédacteurs des Annales préfèrent les vérifier sur les
leurs qui sont plus simples, attendu que M. Malfatti emploie six
inconnues au lieu de trois, et qu’en outre, n’ayant pas représenté par
des symboles particuliers les distances des sommets du triangle donné
au centre du cercle qui lui est inscrit, ses formules se trouvent ainsi
compliquées de radicaux.
Avant de venir au but, il faut d’abord établir entre les données du
problème des équations de relation propres à simplifier le calcul. On
a (tom. 1.er pag. 343)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c+c'+c''&=2s,\\s-c'&=2\rho ',\\s-c''&=2\rho ''~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96ac5fe0772b314dcfed2ad3d95212132ebd36b)
en ajoutant ces équations et réduisant, il vient
![{\displaystyle c=2\rho '+\rho '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6669f7f666f44a73c14be12de44cf549112573c)
d’où
![{\displaystyle c^{2}{\text{ ou }}c(s-\rho )=\rho '^{2}+2\rho '\rho ''+\rho ''^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925d39650c710006ae15b84a8a07556f55126dfe)
ou, en multipliant par
et mettant pour
sa valeur ![{\displaystyle R^{2}s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee4c7a43c3003518e1f0987db45b32faf836f4d)
![{\displaystyle \rho sc=2R^{2}s+c\rho ^{2}+\rho \rho '^{2}+\rho \rho ''^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38d648c2219fac74e81cc8f1a123d038773a5a9)
en mettant pour
, dans le second membre sa valeur
il vient
![{\displaystyle \rho sc=2R^{2}c+2R^{2}\rho +c\rho ^{2}+\rho \rho '^{2}+\rho \rho ''^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4103a0c3154bff5171295c95888b321527765b)
mais on a
substituant donc, il viendra, en réduisant
![{\displaystyle \rho sc=cR^{2}+cd^{2}+\rho d'^{2}+\rho d''^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af893bc3d3c1baf1cfc498164d6e4dda30aef99)
ajoutant à cette dernière équation, l’équation
l’équation résultante pourra être mise sous cette forme
![{\displaystyle \rho sc=c(R+d)^{2}+\rho (d'-d'')^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fb3946d1de7d0a196ce61f749783fc511bdf3f)
en y mettant pour
sa valenr
elle deviendra
![{\displaystyle \rho \left\{s^{2}+(R+d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\}=s\left\{(R+d)^{2}+\rho ^{2}\right\}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b743e7161025ed5ef12ee655349178416a1531)
ajoutant à cette équation, l’équation identique
![{\displaystyle -2\rho s(R+d)=-2s\rho (R+d),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8549be888c9ab0f34d62971483d782cd15e9ed)
l’équation résultante pourra être mise sous cette forme
![{\displaystyle \rho \left\{(s-R-d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\}=s(R+d-\rho )^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e83eb2899b8d9a33b437a9fef22bbf84c4a5cd9)
et comme, dans toutes ces formules, on peut, à volonté, permuter
les accens, on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{lrl}(A)&\rho \left\{(s-R-d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\}&=s(R+d-\rho )^{2},\\(A')&\rho '\left\{(s-R-d')^{2}-(d''-d)^{2}\right\}&=s(R+d'-\rho ')^{2},\\(A'')&\rho ''\left\{(s-R-d'')^{2}-(d-d')^{2}\right\}&=s(R+d''-\rho '')^{2},\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0dc2a582599f2f1ca83429ecce5a95a95d5757)
Cela posé, on a vu (tom.1.er, pag. 344) que les équations du
problème sont
![{\displaystyle {\begin{array}{lrl}(B)&\rho 'r'+2R{\sqrt {r'r''}}+\rho ''r''&=Rc,\\(B')&\rho ''r''+2R{\sqrt {r''r}}+\rho r&=Rc',\\(B'')&\rho r+2R{\sqrt {rr'}}+\rho 'r'&=Rc'',\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e00871f6c3c8244f33ee1be220bc5fa18f90ceb)
et il s’agit de prouver qu’on y satisfait, en posant
[1]
Pour cela soient d’abord ajoutées, deux à deux, les équations
il viendra, en divisant par 2,
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}(D)&\rho 'r'+\rho ''r''&=R(s-R+d),\\(D')&\rho ''r''+\rho r&=R(s-R+d'),\\(D'')&\rho r+\rho 'r'&=R(s-R+d'')~;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfdfeee750320ecd1654f9601e80608832867e13)
multipliant les mêmes équations deux à deux, il viendra
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}(E)&4\rho '\rho ''r'r''&=R^{2}\left\{(s-R+d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\},\\(E')&4\rho ''\rho r''r&=R^{2}\left\{(s-R+d')^{2}-(d''-d)^{2}\right\},\\(E'')&4\rho \rho 'rr'&=R^{2}\left\{(s-R+d'')^{2}-(d-d')^{2}\right\}~;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4c42741c9d39f61b008fc3fb31276786c663a4)
multipliant respectivement ces dernières équations par
et
changeant
en
il vient
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}(F)&4R^{2}sr'r''&=R^{2}\rho \left\{(s-R+d)^{2}-(d'-d'')^{2}\right\},\\(F')&4R^{2}sr''r&=R^{2}\rho '\left\{(s-R+d')^{2}-(d''-d)^{2}\right\},\\(F'')&4R^{2}srr'&=R^{2}\rho ''\left\{(s-R+d'')^{2}-(d-d')^{2}\right\}.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1431e26a9d6e9c3da898894ec133489d18b776f)
Par leur comparaison avec les équations
et la division par
, ces équations deviennent
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}(G)&4R^{2}r'r''&=R^{2}(R+d-\rho )^{2},\\(G')&4R^{2}r''r&=R^{2}(R+d'-\rho ')^{2},\\(G'')&4R^{2}rr'&=R^{2}(R+d''-\rho '')^{2},\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3a8d1ef11881e67f7a7e7456caa87954313ef4)
d’où, par l’extraction de la racine quarrée, on déduit celles-ci
![{\displaystyle {\begin{array}{lrl}(H)&2R{\sqrt {r'r''}}&=R(R+d-\rho ),\\(H')&2R{\sqrt {r''r}}&=R(R+d'-\rho '),\\(H'')&2R{\sqrt {rr'}}&=R(R+d''-\rho ''),\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ab9c51e0a8f8cfcfacac573a0d8f7ed594ab3a)
lesquelles ajoutées respectivement aux équations
donnent
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}\rho 'r'+2R{\sqrt {r'r''}}+\rho ''r''&=R(s-\rho )&=Rc,\\\rho ''r''+2R{\sqrt {r''r}}+\rho r&=R(s-\rho ')&=Rc',\\\rho r+2R{\sqrt {rr'}}+\rho 'r'&=R(s-\rho '')&=Rc''~;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad24ca01c169af083d7b5b859dfdc272494264f)
qui sont précisément les équations du problème.