ANALISE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstration du principe qui sert de fondement au
calcul des fonctions symétriques ;
Par M. Gergonne.
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Le théorème dont je vais m’occuper ici, et que Newton a donné
le premier, sans démonstration, peut être énoncé en ces termes :
Il y a entre les sommes de puissances semblables de plusieurs quantités et leurs sommes de produits deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc., des relations soumises à une loi régulière, et telles que les premières peuvent être exprimées en fonctions rationnelles et entières des dernières, et réciproquement.
Ce théorème étant proprement du domaine de la théorie des
combinaisons, je vais en donner une démonstration fondée uniquement sur cette théorie, et qui me paraît plus courte et plus simple
que celles que l’on déduit de la théorie des équations.
Soit 
des quantités quelconques, au nombre de 
Soient généralement désignées par 
la somme de leurs nmes
puissances, et par 
la somme de leurs produits 
à ; on aura 
Soient, en outre, désignées par 
la somme de
ceux de leurs produits à où 
n’entre pas, par 
la somme
de ceux de ces produits ou 
n’entre pas, et ainsi de suite, ce
qui donnera 
Ces notations admises, il est facile de se convaincre qu’on doit
avoir généralement
(1)
car, en prenant, au hasard, un produit de des lettres données,
s’il renferme 
il se trouvera dans 
et ne s’y trouvera qu’une fois ; et, s’il ne renferme pas il se trouvera dans 
et ne s’y
trouvera également qu’une fois ; d’où l’on voit que 
contient,
et ne contient qu’une fois seulement, tous les produits à 
et
est conséquemment égal à 
Je dis, en second lieu, qu’on doit avoir aussi, généralement,
(2)
en effet, si chacune des quantités 
était précisément
la somme des produits des quantités prises à leur
somme serait égale à 
fois la somme de ces produits, c’est-à-dire,
à 
; mais, parce que ces produits ont facteurs, chacun d’eux
doit manquer, à son tour, dans des quantités 
La somme 
doit donc renfermer fois la somme
des produits à moins fois cette somme, c’est-à-dire, qu’elle
doit être égale à 
fois la somme de ces produits ou, ce qui revient
au même, à 
Cela posé, soient premièrement écrites les équations que voici,
lesquelles sont déduites de l’équation (1), et en nombre moindre
que 
on en conclura facilement, en réduisant,
on aurait pareillement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
prenant donc la somme de ces équations, en ayant égard à l’équation (2), il viendra
ou, en transposant et réduisant,
(3)
Soit, en second lieu, 
et soient écrites les équations
que voici :
on en déduira facilement
on aura pareillement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d’où, en ajoutant
(4)
On déduit des équations (3) et (4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
équations qui mettent en évidence la vérité du théorème.
