ANALISE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstration du principe qui sert de fondement au
calcul des fonctions symétriques ;
Par M. Gergonne.
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Le théorème dont je vais m’occuper ici, et que Newton a donné
le premier, sans démonstration, peut être énoncé en ces termes :
Il y a entre les sommes de puissances semblables de plusieurs quantités et leurs sommes de produits deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc., des relations soumises à une loi régulière, et telles que les premières peuvent être exprimées en fonctions rationnelles et entières des dernières, et réciproquement.
Ce théorème étant proprement du domaine de la théorie des
combinaisons, je vais en donner une démonstration fondée uniquement sur cette théorie, et qui me paraît plus courte et plus simple
que celles que l’on déduit de la théorie des équations.
Soit
des quantités quelconques, au nombre de
Soient généralement désignées par
la somme de leurs nmes
puissances, et par
la somme de leurs produits
à
; on aura
Soient, en outre, désignées par
la somme de
ceux de leurs produits
à
où
n’entre pas, par
la somme
de ceux de ces produits ou
n’entre pas, et ainsi de suite, ce
qui donnera
Ces notations admises, il est facile de se convaincre qu’on doit
avoir généralement
![{\displaystyle P_{n}=A_{n}+aA_{n-1}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feae9cc258026bf2e6af6a5b410474aeef3603d5)
(1)
car, en prenant, au hasard, un produit de
des lettres données,
s’il renferme
il se trouvera dans
et ne s’y trouvera qu’une fois ; et, s’il ne renferme pas
il se trouvera dans
et ne s’y
trouvera également qu’une fois ; d’où l’on voit que
contient,
et ne contient qu’une fois seulement, tous les produits
à
et
est conséquemment égal à ![{\displaystyle P_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a9a5ad583cfce82782ab280c38516688dff442)
Je dis, en second lieu, qu’on doit avoir aussi, généralement,
![{\displaystyle A_{n}+B_{n}+C_{n}+\ldots =(m-n)P_{n}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc08a0e0f24cf9916da2f8724e67947519bcef4)
(2)
en effet, si chacune des quantités
était précisément
la somme des produits des quantités
prises
à
leur
somme serait égale à
fois la somme de ces produits, c’est-à-dire,
à
; mais, parce que ces produits ont
facteurs, chacun d’eux
doit manquer, à son tour, dans
des quantités
La somme
doit donc renfermer
fois la somme
des produits
à
moins
fois cette somme, c’est-à-dire, qu’elle
doit être égale à
fois la somme de ces produits ou, ce qui revient
au même, à ![{\displaystyle (m-n)P_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2953ad309d31f499d0357535aafb56419b8a9eb5)
Cela posé, soient premièrement écrites les équations que voici,
lesquelles sont déduites de l’équation (1), et en nombre moindre
que
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=A_{1}+a,\\P_{2}&=A_{2}+aA_{1},\\P_{3}&=A_{3}+aA_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\P_{n}&=A_{n}+aA_{n-1}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16481930009999ecbbfb70588c480b0b2dc714c5)
on en conclura facilement, en réduisant,
![{\displaystyle a^{n}-P_{1}a^{n-1}+P_{2}a^{n-2}-P_{3}a^{n-3}+\ldots \pm P_{n}=\pm A_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94a8aa355ca711e13d2b8beb0c42bf9ab82b423)
on aurait pareillement
![{\displaystyle b^{n}-P_{1}b^{n-1}+P_{2}b^{n-2}-P_{3}b^{n-3}+\ldots \pm P_{n}=\pm B_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de101083e909183d3eb67978e73eb4c26418611)
![{\displaystyle c^{n}-P_{1}c^{n-1}+P_{2}c^{n-2}-P_{3}c^{n-3}+\ldots \pm P_{n}=\pm C_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374a52c3335cdd0404da9701d8ab16f2e25c6e0a)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
prenant donc la somme de ces équations, en ayant égard à l’équation (2), il viendra
![{\displaystyle S_{n}-P_{1}S_{n-1}+P_{2}S_{n-2}-P_{3}S_{n-3}+\ldots \pm mP_{n}=\pm (m-n)P_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940bbc58a5fc521d4ea7ca69811c510dab75d675)
ou, en transposant et réduisant,
![{\displaystyle S_{n}-P_{1}S_{n-1}+P_{2}S_{n-2}-P_{3}S_{n-3}+\ldots \pm nP_{n}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bc188245da422963921e7df90d1faeeb7a00a5)
(3)
Soit, en second lieu,
et soient écrites les équations
que voici :
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=A_{1}+a,\\P_{2}&=A_{2}+aA_{1},\\P_{3}&=A_{3}+aA_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\P_{m}&=0+aA_{m-1}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d352c8f3d965cc9a7698267b42952f07805365)
on en déduira facilement
![{\displaystyle a^{n}-P_{1}a^{n-1}+P_{2}a^{n-2}-P_{3}a^{n-3}+\ldots \pm P_{m}a^{n-m}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24b00f55d5d31df7e0fb2b3c21c923ea84c0e37)
on aura pareillement
![{\displaystyle b^{n}-P_{1}b^{n-1}+P_{2}b^{n-2}-P_{3}b^{n-3}+\ldots \pm P_{m}b^{n-m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56dc9fcfee18db7de4d704cfe0025d04eb97cec8)
![{\displaystyle c^{n}-P_{1}c^{n-1}+P_{2}c^{n-2}-P_{3}c^{n-3}+\ldots \pm P_{m}c^{n-m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c60299ccd7a08db68d14f98c8f0c3af547558c2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d’où, en ajoutant
![{\displaystyle S_{n}-P_{1}S_{n-1}+P_{2}S_{n-2}-P_{3}S_{n-3}+\ldots \pm P_{m}S_{n-m}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfe690461ae31264d238f6c5aadc93f0684653b)
(4)
On déduit des équations (3) et (4)
![{\displaystyle S_{1}-P_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a0d969f985b08268471943e528f16c1cc3bfc1)
![{\displaystyle S_{2}-P_{1}S_{1}+2P_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadd7e7349cf95460777640e08c3866432ba9c54)
![{\displaystyle S_{3}-P_{1}S_{2}+P_{2}S_{1}-3P_{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b092dd66f9462957eba73fe29ae9efcaacb666f4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![{\displaystyle S_{m-1}-P_{1}S_{m-2}+P_{2}S_{m-3}-P_{3}S_{m-4}+\ldots \mp (m-1)P_{m-1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fd5df60f76a7f57e6937284b62ac3e88dd7fad)
![{\displaystyle S_{m}-P_{1}S_{m-1}+P_{2}S_{m-2}-P_{3}S_{m-3}+\ldots \mp P_{m-1}S_{1}\pm mP_{m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3a552d9a81f38741855c0741e85205bbc55049)
![{\displaystyle S_{m+1}-P_{1}S_{m}+P_{2}S_{m-1}-P_{3}S_{m-2}+\ldots \mp P_{m-1}S_{2}\pm P_{m}S_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b209c0c76c80b0e05f5b311fe296545e093f308)
![{\displaystyle S_{m+2}-P_{1}S_{m+1}+P_{2}S_{m}-P_{3}S_{m-1}+\ldots \mp P_{m-1}S_{3}\pm P_{m}S_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ad1f30377f30a8b78fe7deffc70e9c0035194)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
équations qui mettent en évidence la vérité du théorème.