QUESTIONS RÉSOLUES.
Solutions du problème d’alliage proposé à la page
du deuxième volume des Annales.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Énoncé. Deux vases
et
dont les capacités sont respectivement
et
sont remplis, l’un et l’autre, d’un mélange d’eau et de vin dont la proportion est connue pour chaque vase. On a deux mesures égales, dont la contenance commune est
et que l’on plonge en même temps dans les deux vases pour les remplir ; après quoi on verse dans chaque vase le liquide tiré de l’autre. On réitère la même opération
fois successivement. On demande quelle sera alors la proportion de l’eau et du vin dans chaque vase ?
Première solution ;
Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.
Soient
les quantités d’eau qui se trouvent rester dans le vase
après trois opérations consécutives quelconques,
et
les quantités d’eau correspondantes qui se trouvent
dans le vase
Par l’opération qui fait passer les quantités d’eau des deux vases
de
et
à
et
on extrait, savoir :
de
une quantité d’eau exprimée par ![{\displaystyle {\frac {c}{a}}X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc793870b72f611b07bc0284e23364f99455b0b)
de B une quantité d’eau exprimée par ![{\displaystyle {\frac {c}{b}}Y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16262092ee43beef4d6f62a50ff83274909462a)
on aura donc
![{\displaystyle X'=X-{\frac {c}{a}}X+{\frac {c}{b}}Y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5023fa630ea678377036f232d9365d6443ddfd)
et on aura pareillement
![{\displaystyle X''=X'-{\frac {c}{a}}X'+{\frac {c}{b}}Y'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cc9f212e3410010815e95e382de0a1e4168b01)
on a d’ailleurs
![{\displaystyle X+Y=X'+Y'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a49170861c9f42fd1f15c59c4f2f0529be8444)
éliminant donc
et
entre ces trois équations, il viendra
![{\displaystyle X''=\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X'-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ad8a6f2f30cd6828b68e03024fc9a6d9b16044)
partant, les quantités d’eau successives contenues dans le premier
vase forment une suite récurrente du second ordre, dont l’échelle
de relation est
![{\displaystyle +\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right),\qquad -\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f049189412732a6089010e4eef012dff2ce50d)
cette suite récurrente provient donc du développement d’une fraction
dont le dénominateur est
![{\displaystyle 1-\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x+\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02aac8bae510b01d603fec789936fe442c197fbf)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle (1-x)\left\{1-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8df6f93fde9e43e6846a530cfa66e5d23316735)
ou, ce qui revient au même, du développement de la somme de deux fractions de la forme
![{\displaystyle {\frac {M}{1-x}},\qquad {\frac {N}{1-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467f00e704aa5518d207e244e100f489ed262b27)
or, les termes généraux correspondans de ces développemens sont
![{\displaystyle Mx^{n}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e2e21d0d4c7f17ccf3f7bacb8edb997630d9c0)
et
![{\displaystyle \qquad N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}x^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58a5f11cfd4cb4150a3032bd37b1f56efbd2b90)
partant
![{\displaystyle X=M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e602eacac6546baf5d1cac9a7db026316b000a9)
et
étant deux constantes qu’il s’agit présentement de déterminer d’après l’état initial du mélange dans les deux vases.
Soient
et
les quantités d’eau qui se trouvaient respectivement
dans les deux vases
et
avant la première opération ; après
cette première opération il se trouvera dans le vase
une quantité
d’eau exprimée par
![{\displaystyle \alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5442087b50bdc0753bc33b47e1a23d80aa185268)
ainsi il faut qu’en faisant successivement
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}n&=0,\\n&=1,\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6396e297fc79dd553fcd87c782ce9fc0c65e7526)
on ait
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}X&=\alpha ,\\X&=\alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b26f741946f520aed607374e8f6d31e32a1fbd0)
ce qui donne
![{\displaystyle \alpha =M+N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b853d2bd78f4bb51885295853087f5a88db658)
![{\displaystyle \alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta =M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaddb9f33e61d41c745410a1a160f0a23be900c)
de là
![{\displaystyle M=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}},\qquad N={\frac {\alpha b+\beta a}{a+b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29556a52359d2d9c1b657d2ce097388a45fbde8c)
et partant
![{\displaystyle X=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d91fb546c8da75c26815a06707d7f78ea5f6e4)
De là on déterminera le moment (s’il est possible) ou les
quantités d’eau contenues dans les deux vases seront entre elles dans
un rapport donné, où celui auquel la quantité d’eau contenue dans
l’un de ces vases sera égale à une quantité donnée.
Si, dans l’état initial du mélange, les quantités d’eau contenues
dans les deux vases sont respectivement proportionnelles aux capacités de ces vases, on a
de là
et partant
![{\displaystyle X=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}=\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c01b1efe70d096f4008bd1d9e00b106efc92126)
Ainsi, dans ce cas particulier, quelque multipliées que soient les
opérations, l’état des deux mélanges demeure invariable.
Deuxième solution ;
Par M. Tédenat, correspondant de la première classe de
l’Institut, recteur de l’académie de Nismes.
Soient après
opérations,
la quantité d’eau qui se trouve dans
le vase
et
la quantité d’eau qui se trouve dans le vase
À la fin de l’opération suivante, ces deux quantités seront devenues
respectivement
et
; or, il est clair que la quantité d’eau
qui se trouvera alors dans le vase
sera égale à celle qui s’y
trouvait après la
opération, moins celle que la
en
a soustraite, plus celle qu’elle y a introduite ; ce qui donne sur-le-champ l’équation
![{\displaystyle X_{z+1}=X_{z}-{\frac {c}{a}}X_{z}+{\frac {c}{b}}Y_{z}=\left(1-{\frac {c}{a}}\right)X_{z}+{\frac {c}{b}}Y_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3d6684d865f2cb0f5e6f261b86514cd928046c)
Mais, d’un autre côté, si l’on désigne par
et
les quantités d’eau
qui se trouvaient respectivement dans les deux vases
et
avant
la première opération, on aura
![{\displaystyle X_{z}+Y_{z}=\alpha +\beta ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d89986cce4e854d5a1d10014f3462994d90609)
d’où
![{\displaystyle \qquad Y_{z}=\alpha +\beta -X_{z}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c00f0dd1e020825ffd1877127ab08620fefa63)
substituant donc dans l’équation ci-dessus, elle deviendra
![{\displaystyle X_{z+1}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5ae333184b386bf78cca43eb972ae214a71b44)
équation du premier ordre aux différences, entre les deux variables
et
dont les coefficiens sont constans, et dont l’intégrale est
[1]
étant une constante arbitraire.
Or, à
doit répondre
; donc
![{\displaystyle \alpha =a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+C\,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6c916165a4c1cbe989cf783b0b6de2dd1a8936)
d’où
![{\displaystyle \quad C={\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c3ebfdc2a3cbcd65772c9f5e8464ad977bc9b8)
et par conséquent
![{\displaystyle X_{z}=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f353cc7a409ec75eca34b0b793ef45670edbde)
D’après cela, si l’on dénote simplement par
les quantités
d’eau, et par
les quantités de vin contenues respectivement
dans les deux vases
et
après la
opération ; et si en outre
et
sont les quantités de vin que renfermaient ces deux vases,
avant la première opération ; en observant que
![{\displaystyle {\begin{aligned}X+X'=\alpha +\alpha '=a&,\qquad X+Y=\alpha +\beta ,\\Y+Y'=\beta +\beta '=b&,\qquad X'+Y'=\alpha '+\beta ',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ecde90a264a9b088756e348c35d55348a1b8dd)
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\X'&=a{\frac {\alpha '+\beta '}{a+b}}+{\frac {\alpha 'b-\beta 'a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\Y&=b{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}-{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\Y'&=b{\frac {\alpha '+\beta '}{a+b}}-{\frac {\alpha 'b-\beta 'a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76144855f79a3ead277d92cedbb4434d7ffb5a73)
Parmi une multitude de remarques auxquelles ces formules peuvent donner lieu, nous nous arrêterons aux suivantes.
et
étant, dans les cas, deux fractions positives, il en résulte que
est toujours compris entre 0 et 2, et que conséquemment
est toujours fractionnaire et compris entre
et
Donc 1.o les valeurs de
tendent constamment à
se réduire à leurs premiers termes, à mesure que
devient plus
grand et elles y tendent de manière à rester toujours au-dessus ou
toujours au-dessous, si l’on a
ou
tandis qu’au
contraire elles se trouvent alternativement au-dessus et au-dessous de
cette limite, si l’on a
2.o Si l’on avait exactement
d’où
les valeurs de
atteindraient leurs limites respectives dès
la première opération ; de manière que les opérations subséquentes
n’y changeraient rien, et qu’alors le mélange se trouverait homogène
dans les deux vases. Ainsi, en prenant la mesure
on sera
assuré, sans même connaître l’état initial du mélange dans chacun
des deux vases, que ce mélange est exactement le même dans l’un
et dans l’autre après une seule opération. Et il est de plus aisé de voir
que la chose aurait lieu également, lors même que les liquides mêlés
dans chacun s’y trouveraient au nombre de plus de deux.