ANALISE.
Remarque sur la résolution des équations du quatrième
degré par la méthode de M. Wronski ;
Par M. Gergonne.
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Dans l’examen que j’ai fait, à la page 51 de ce volume, de la
méthode proposée par M. Wronski, pour la résolution générale des
équations, j’ai insinué que cette méthode, ou plutôt la méthode
plus simple que je lui ai substituée, cessait d’être applicable, dès
le quatrième degré.
Cela est vrai, en effet, si l’on ne veut, pour faire disparaîtra
les diverses fonctions de qu’employer seulement les
équations
comme on serait contraint de le faire, si 4 était un nombre
premier ; mais, comme l’équation équivaut à
et comme, d’après ce que j’ai prescrit sur le choix de on ne
saurait avoir on doit avoir ; or, en ayant égard
à cette relation, concurremment avec les premières, on parvient à
faire évanouir toutes les fonctions de comme dans le troisième degré.
Mais puisque, dès le quatrième degré, le procédé ne réussit que par
cette circonstance particulière que est décomposable en deux facteurs rationnels ou, ce qui revient au même, que 4 est égal à 2.2, c’est un motif de plus pour douter du succès de l’application
de cette méthode, dans les degrés supérieurs. Je vais indiquer brièvement la marche du calcul pour le quatrième degré, en réduisant
tous les exposans de à l’unité ; en vertu de l’équation
Soit la proposée
En posant
on aura
d’où on conclura, par la théorie des fonctions symétriques
seront donc les trois racines de la réduite
Ces trois racines ne sont au surplus que les quarrés de celles de la réduite ordinaire
comme il est facile de s’en convaincre, et comme cela doit être en effet.