ANALISE.
Mémoire sur les fractions rationnelles ;
Par M. De Stainville, répétiteur adjoint à l’école
impériale polytechnique.
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La décomposition des fractions rationnelles, qui se présente si souvent dans la théorie des suites, et dans le calcul intégral, a été présentée, par les analistes, de plusieurs manières diverses. En particulier on y a appliqué le calcul différentiel ; mais cette application ne me parait pas avoir été présentée sous le point de vue le plus simple et le plus lumineux ; et c’est ce qui me détermine à y revenir ici.
Je considérerai successivement, dans ce mémoire, trois sortes de fractions rationnelles, savoir 1.o celles dont le dénominateur a tous ses facteurs inégaux ; 2.o celles dont le dénominateur a tous ses facteurs égaux, ; 3.o celles dont le dénominateur a ses facteurs en partie égaux et en partie inégaux.
I. Soit, en général,
une fraction rationnelle irréductible dont le dénominateur
, d’un degré plus élevé que le numérateur, soit le produit des facteurs inégaux
en désignant par
les numérateurs des fractions partielles qui doivent
respectivement avoir ces facteurs pour dénominateurs ; on aura
![{\displaystyle {\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {A}{x-a}}+{\frac {B}{x-b}}+{\frac {C}{x-c}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c237738131e297bfa7bd37c3242357cc26a7fb)
d’où on conclura, en chassant les dénominateurs, et se rappelant que ![{\displaystyle \phi x=(x-a)(x-b)(x-c)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49781d82797039f03487d04fd96fb57b2c083402)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi x&=A(x-b)(x-c)\ldots \\&+B(x-a)(x-c)\ldots \\&+C(x-a)(x-b)\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f193d146f70c32c2733f81857de36b393e7fa1f6)
Cette équation étant identique, elle devra subsister encore, en y
mettant successivement pour
les quantités
; observant
donc que chacune de ces substitutions fait disparaître tous les termes
du second membre, excepté un seul, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi a&=A(a-b)(a-c)\ldots ,\\\psi b&=B(b-a)(b-c)\ldots ,\\\psi c&=C(c-a)(c-b)\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406b48084efd36dc880401c815adae079ebd6468)
D’un autre côté, en différentiant l’équation identique
![{\displaystyle \phi x=(x-a)(x-b)(x-c)\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3630b661def97fc154f3aa8e765572334b80e263)
on obtient cette autre équation identique
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi 'x&=(x-b)(x-c)\ldots \\&+(x-a)(x-c)\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c058f557ad35853c37030cfe8c4f81d9126122)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+(x-a)(x-b)\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994dc292ffe33e24a5a805b981b49a89d23b65a7)
laquelle, en y mettant successivement pour
les seconds termes
, donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi 'a&=(a-b)(a-c)\ldots \\\phi 'b&=(b-a)(b-c)\ldots \\\phi 'c&=(c-a)(c-b)\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a630deda90c2a5fc4280b8fe124a29b778db8c0)
divisant donc, par chacune de ces dernières, les équations correspondantes du précédent groupe, il viendra
![{\displaystyle {\frac {\psi a}{\phi 'a}}=A,\qquad {\frac {\psi b}{\phi 'b}}=B,\qquad {\frac {\psi c}{\phi 'c}}=C,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a0aa629da1479e5217a6dd8a34b97b578c13b6)
Ainsi, si l’on forme une fraction dont le numérateur soit le même
que celui de la fraction proposée, et dont le dénominateur soit la fonction
prime de son dénominateur ; en substituant successivement pour
dans
cette fraction, les seconds termes des dénominateurs des fractions
partielles, pris avec des signes contraires, on obtiendra les numérateurs de
ces mêmes fractions.
Soit, par exemple, la fraction
le numérateur, divisé par la fonction prime du dénominateur, donnera
en y faisant successivement
on obtiendra
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {6x^{2}-22x+18}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}}={\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {2}{(x-2)}}+{\frac {3}{(x-3)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9161dae44ce4960c782273e94fdd66d7db1c89b)
On voit par là que, dans le cas particulier où le numérateur de
la fraction proposée se trouverait être la fonction prime de son dénominateur, les numérateurs des fractions partielles se trouveraient tous
égaux à l’unité, comme il résulte d’ailleurs de la théorie des différentielles logarithmiques,
II. Soit encore
une fraction rationnelle irréductible, dont le
dénominateur soit d’un degré plus élevé que le rumérateur ; mais
supposons que ce dénominateur soit le produit de
facteurs égaux
à
, en sorte qu’on ait
; on pourra alors écrire
l’équation identique
![{\displaystyle {\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {\psi \left\{a+(x-a)\right\}}{(x-a)^{m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bca35f891a6a3113bab94b92c728dfab19740c)
En développant le second membre de cette équation, par la série
de Taylor, on obtiendra
![{\displaystyle {\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {\psi a}{(x-a)^{m}}}+{\frac {{\tfrac {1}{1}}\psi 'a}{(x-a)^{m-1}}}+{\frac {{\tfrac {1}{1.2}}\psi ''a}{(x-a)^{m-2}}}+\ldots +{\tfrac {{\frac {1}{1.2\ldots n}}\psi ^{(n)}a}{(x-a)^{m-n}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3339200d640013427ca72d3a401b4cea3b36002)
D’où l’on voit que le numérateur d’une fraction partielle quelconque
s’obtiendra, en formant une dérivée du numérateur de la fraction
proposée dont l’ordre soit la différence entre l’exposant du dénominateur de la même fraction proposée et l’exposant du dénominateur
de la fraction partielle dont il s’agit, en divisant ensuite cette fonction dérivée par le produit d’autant des premiers nombres naturels
qu’il y a d’unités dans le nombre qui indique son ordre de dérivation,
et en y mettant enfui pour
le second terme
du binôme ![{\displaystyle x-a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e3a9840ccedfdb25d214ee76df36908829f21b)
Soit, par exemple, la fraction
![{\displaystyle {\frac {3x^{2}-4x+2}{x^{3}-3x^{2}+3x-1}}={\frac {3x^{2}-4x+2}{(x-1)^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44077dbf96e94e82f2fe569ef757072f266ab342)
Le numérateur et ses dérivées successives, divisées respectivement
par 1 et 2, sont
![{\displaystyle 3x^{2}-4x+2,\qquad 6x+4,\qquad 3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967c338106045df71b7cc844bd12d2b415e15e4d)
en y faisant
il vient
![{\displaystyle 1,\qquad 2,\qquad 3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a587f88dff2da2891a56c716d49d2e99343b5b0)
et on a conséquemment
![{\displaystyle {\frac {3x^{2}-4x+2}{(x-1)^{3}}}={\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {2}{(x-1)^{2}}}+{\frac {3}{(x-1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300f94f65c27c666f99db46702f29d10b95cc8a2)
III. Soit enfin
une fraction rationnelle irréductible, dont le
dénominateur, d’un degré plus élevé que son numérateur, n’ait
ni tous ses facteurs égaux ni tous ses facteurs inégaux. Soit
la fonction
pouvant renfermer ou ne point
renfermer de facteurs égaux, mais n’en renfermant aucun qui soit
égal à
Soit posé
![{\displaystyle {\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {\mathrm {F} x}{(x-a)^{m}}}+{\frac {\Phi x}{\mathrm {f} x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421654921bd3542471adc612939bb8eb55b8930d)
Si l’on pouvait déterminer les fonctions
et
, le problème
qui nous occupe pourrait être considéré comme résolu, puisque la
décomposition de la première fraction du second membre se rapporterait au second cas que nous avons traité, et que la décomposition
de l’autre se rapporterait soit au premier soit au cas présent, suivant
que les facteurs de
seraient ou ne seraient pas tous inégaux.
Au lieu de déterminer immédiatement
il serait préférable de
chercher d’abord
car, outre qu’il serait facile
d’en déduire
ainsi que nous le verrons tout-à-l’heure, la décomposition de la première fraction du second membre se trouverait ainsi exécutée.
Si, dans notre équation, on chasse les dénominateurs ; et, qu’après
avoir changé
en
on développe par la série de Taylor,
il viendra
![{\displaystyle \psi a+{\frac {y}{1}}\psi 'a+{\frac {y^{2}}{1.2}}\psi ''a+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65bb65ef4ac35135a68183c99bcd952f323b44de)
![{\displaystyle \left\{\mathrm {F} a+{\frac {y}{1}}\mathrm {F} 'a+{\frac {y^{2}}{1.2}}\mathrm {F} ''a+\ldots \right\}\left\{\mathrm {f} a+{\frac {y}{1}}\mathrm {f} 'a+{\frac {y^{2}}{1.2}}\mathrm {f} ''a+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ed83f2eb170ba7a1d84ea3a26f4859686acb92)
![{\displaystyle +y^{m}\left\{\Phi a+{\frac {y}{1}}\Phi 'a+{\frac {y^{2}}{1.2}}\Phi ''a+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad561b660b8ef243799f484e04cbcf74812042f3)
d’où, en comparant les puissances semblables de ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi a&=\mathrm {f} a\mathrm {F} a,\\\psi 'a&=\mathrm {f} a\mathrm {F} 'a+\mathrm {f} 'a\mathrm {F} a,\\\psi ''a&=\mathrm {f} a\mathrm {F} ''a+2\mathrm {f} 'a\mathrm {F} 'a+\mathrm {f} ''a\mathrm {F} a\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7a47838b8c3506f0515351780549e5eef85734)
et, en général
![{\displaystyle \psi ^{(n)}a=\mathrm {f} a\mathrm {F} ^{(n)}a+{\frac {n}{1}}\mathrm {f} 'a\mathrm {F} ^{(n-1)}a+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\mathrm {f} ''a\mathrm {F} ^{(n-2)}a+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677a2dc0899b1ccc014c4020ca3078cd93bea879)
pourvu que
soit moindre que
Or, comme
et
sont connus, on aura facilement
on n’aura donc d’inconnues, dans les équations ci-dessus, que
qu’elles serviront à déterminer. Il viendra alors
![{\displaystyle \mathrm {F} x=\mathrm {F} \left\{a+(x-a)\right\}=\mathrm {F} a+{\frac {x-a}{1}}\mathrm {F} 'a+{\frac {(x-a)^{2}}{1.2}}\mathrm {F} ''a+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6301b290fb6e05dfd7271c4947764e875d261c23)
et ensuite
![{\displaystyle \Phi x={\frac {\psi x-\mathrm {f} x\mathrm {F} x}{(x-a)^{m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10391eb8f09f320a31ca48649e0ceca8ca6c3e12)
Soit proposée, pour exemple, la fraction
Nous aurons ici
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi x&=9x^{6}-94x^{5}+383x^{4}-787x^{3}+891x^{2}-576x+192,\\\phi x&=(x-1)^{3}(x-2)^{2}(x-3)(x-4),\\a&=1\\\mathrm {f} x&=(x-1)^{2}(x-3)(x-4)=-11x^{3}+44x^{2}-76x+48\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5116eacb8ec3429f05a644da2a01bfb6531767)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi 'x&=54x^{5}-470x^{4}+1532x^{3}-2361x^{2}+1782x-576,\\\psi ''x&=270x^{4}-1880x^{3}+4596x^{2}-4722x+1782,\\\mathrm {f} 'x&=4x^{3}-33x^{2}+88x-76,\\\mathrm {f} ''x&=12x^{2}-66x+88,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461bf29f72e1d1f3ded60f3f68c5e948d8b57b2e)
et par conséquent
![{\displaystyle \psi a=18,\qquad \psi 'a=-39,\qquad \psi ''a=46,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c2f0cf7e0dc3d6732e01b70e55152ef84aa8b9)
![{\displaystyle \mathrm {f} a=6,\qquad \mathrm {f} 'a=-17,\qquad \mathrm {f} ''a=34,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1a46f3fa1957c4a56147d47d2eb7d94a9acc84)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}18&=6\mathrm {F} a,\\-39&=6\mathrm {F} 'a-17\mathrm {F} a,\\46&=6\mathrm {F} ''a-34\mathrm {F} 'a+34\mathrm {F} a\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8a87d1d301e7736067142bc54c35e0b93d463a)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {F} a=3,\qquad \mathrm {F} 'a=2,\qquad \mathrm {F} ''a=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4616acc0c2d4a3248b758eb4b317b96775e917ec)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {F} x=3+2(x-1)+(x-1)^{2}=x^{2}+2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25778ede465e2ab55d4af3cff45d43f733c07dfc)
![{\displaystyle \mathrm {f} x\mathrm {F} x=x^{6}-11x^{5}+46x^{4}-98x^{3}+136x^{2}-152x+96,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7657dada23f4a3e67d9377b2f343600974b2564)
![{\displaystyle \psi x-\mathrm {f} x\mathrm {F} x=8x^{6}-83x^{5}+337x^{4}-689x^{3}+755x^{2}-424x+96,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d50637e4d078c05be8a6d698861bd2047d89af)
![{\displaystyle \Phi x={\frac {\psi x-\mathrm {f} x\mathrm {F} x}{(x-a)^{m}}}=8x^{3}-59x^{2}+136x-96\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b70b25f43d646a3e2cf19635d557961b25be9c)
donc enfin
![{\displaystyle {\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {3}{(x-1)^{3}}}+{\frac {2}{(x-1)^{2}}}+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {8x^{3}-59x^{2}+136x-96}{(x-2)^{2}(x-3)(x-4)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c28aa3a87408d890b19530377957dd8259643c)
On décomposera la dernière fraction, en lui appliquant le même procédé.