Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Correspondance, lettre 7

Lettre de M. Serres au rédacteur des Annales.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 291-292).

CORRESPONDANCE.

Lettre de M. Serres, professeur de mathématiques à
l’école de Sorèze,

Au Rédacteur des Annales ;

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Monsieur,

J’ai lu, avec intérêt, dans le numéro du mois d’août dernier de vos Annales, page 41 le mémoire de M. de Maizière, sur les limites des racines des équations ; et j’ai eu lieu, plus d’une fois, d’admirer la sagacité de son auteur. Mais j’ai été étrangement surpris, lorsque, tombant par hasard sur une équation particulière, $x^{3}-12x^{2}+44x-48=0,$ dont les racines sont 2, 4, 6, j’ai cependant trouvé, pour limite, en vertu de la 3.^e observation, qui m’a suggéré l’idée de mettre l’équation sous la forme $x(x^{2}-12x+44)-48=0.$ Le facteur trinôme étant essentiellement positif ; j’ai dû en conclure que je pouvais regarder les trois premiers termes comme positifs, et prendre pour limite $1+{\sqrt[{3}]{48}}<1+4=5.$ Cette conclusion ne pouvant s’accorder avec la racine 6, j’ai pensé qu’il devait y avoir quelque vice dans cette troisième observation ; et voici à quel résultat mes réflexions sur ce sujet m’ont conduit.

Il ne saurait être permis de dénaturer le 1.^er terme de l’équation, pour le grouper avec les deux suivans, à moins que toute l’équation ne puisse se décomposer en plusieurs groupes positifs, comme au n.^o 6 des observations. En effet, la démonstration générale, qui donne la limite $1+{\sqrt[{i}]{P_{k}}},$ porte essentiellement sur ce que le 1.^er terme seul $x^{m}$, en vertu de cette limite, est rendu plus grand que tous les termes négatifs ensemble ; il faut donc que ce 1.^er terme reste isolé, pour remplir cette condition ; et on ne peut grouper que les termes suivans, pour en faire un ou plusieurs polynômes positifs, de manière à reculer le terme négatif, dont le rang doit déterminer le degré de la racine à extraire du plus grand coefficient négatif qui vient à la suite de ces différens groupes.

Si l’on veut faire entrer le premier terme dans ces transformations ; il me paraît qu’alors il est nécessaire de vérifier la limite à laquelle on parvient ; en examinant si le groupe, plus la somme des termes positifs qui pourront le suivre immédiatement, donnent un nombre plus grand que la somme des termes négatifs suivans : afin qu’au de là de cette limite, le résultat général demeure toujours positif. Par exemple, dans notre équation ci-dessus, après avoir trouvé 5 pour limite, il faudrait s’assurer si cette limite donne $x(x^{2}-12x+44)>48,$ ce qui n’est pas ; la limite 5 est donc trop faible, et doit conséquemment être rejetée.

Si vous pensez, Monsieur, que ces observations soient fondées, et qu’elles puissent être utiles à vos lecteurs, vous voudrez bien, je pense, leur accorder une place dans votre estimable journal.

Agréez, etc.

Sorèze, le 13 décembre 1812.