CORRESPONDANCE.
Lettre de M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
l’académie de Grenoble.
Au Rédacteur des Annales.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Monsieur et très-cher Confrère,
J’ai l’honneur de vous soumettre quelques remarques qui concernent deux mémoires de votre dernière livraison des Annales, et qui me paraissent intéressantes.
§. 1. Sur la construction des formules qui servent à déterminer la grandeur et la situation des diamètres principaux, dans les lignes du second ordre.[1]
L’équation
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {b}{a-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8f14b8d47e5ad8b986b8624e9ffe99097752e5)
ou, plus généralement
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .(2\alpha +k\varpi )=-{\frac {b}{a+c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202f73dd6580da454634a230319dc40f8c0d4f3e)
donne l’angle
que fait l’axe des
ou des
avec l’axe
des
; on trouve les deux angles
et
; en sorte que la même formule fait connaître les directions des axes des
et des
Si
désigne l’angle que fait l’axe des
avec l’axe des
il faudra porter sur cet axe des
à partir du centre, la valeur
![{\displaystyle A={\sqrt {\frac {2\left[bde-ae^{2}-cd^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)f\right]}{\left(b^{2}-4ac\right)\left[\left(a+c\right)-{\sqrt {\left(b^{2}+(a-c)^{2}\right)}}\right]}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8521e4cf8d8d53d3a1a57f328753420b66ea636d)
ce résultat est vrai, si
est négatif, et il est faux si
est positif.
Soit donnée pour exemple l’équation
Rappelons les formules de mon mémoire (tom. II, p. 218) ;
![{\displaystyle ay^{2}+2bxy+cx^{2}=P,\qquad gy'^{2}+hx'^{2}=P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9e158852a8323c9ae6b79e576f657f3a3ae07f)
![{\displaystyle z^{2}-(a+c)z+\left(ac-b^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9646f8672061b99e2cebf83b693058b056e433b7)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .2\alpha =-{\frac {2b}{g-h}},\qquad \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {2b}{a-c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fd4fc808415fcd9bf032faa90188f6d095227)
En substituant, on trouve
![{\displaystyle z^{2}-6z+{\tfrac {11}{4}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f3ba5b5a7c75e610be1ab2d035c8c3abea16cc)
d’où
![{\displaystyle z={\tfrac {11}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb51f68ebc3fbc5194ce9df47a891b9f78899c4)
ou
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edef8290613648790a8ac1a95c2fb7c3972aea2f)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .2\alpha =-{\frac {3}{h-g}},\qquad \operatorname {Tang} .2\alpha ={\tfrac {1}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92baf44c10fa99c2ac8134e30302d32ddb74901)
or, comme
doit être positif, il s’ensuit que
donc
![{\displaystyle A^{2}={\tfrac {2}{11}},\qquad B^{2}=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfe1c32f61a9a8bf7b6ad9f28ff163c2e838a4b)
En appliquant les formules de M. Rochat, on trouve au contraire
![{\displaystyle A^{2}=2,\qquad B^{2}={\tfrac {2}{11}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa8b02d50e6300b57513fa94090e9ae099fa88c)
Il est donc très-important de faire attention au double signe du radical, dans les valeurs de
et
ou dans celles de
et
; car, sans cette précaution, on déterminerait bien exactement l’ellipse et l’hyperbole, mais très-souvent ces courbes ne seraient point situées comme elles doivent l’être, relativement aux axes primitifs des coordonnées.
§. 2. Observation sur la démonstration du principe qui sert de fondement à la théorie des équations.[2]
L’équation
établit entre les variables
une relation telle qu’à chaque valeur de
il correspond une valeur de
Réciproquement, pour
on doit trouver
et par conséquent, il
existe une série d’opérations à faire sur
et les coefficîens
de manière à obtenir
ou, ce qui revient au
même, on a
![{\displaystyle \alpha =\phi (A,B,C,\ldots \beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70852b9fb6c441e38016e5785946af5097914cc0)
et on aura pareillement
![{\displaystyle \alpha '=\phi '(A,B,C,\ldots \beta '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476957b0d9f458080f338ad2618b5da2a9d6f252)
![{\displaystyle \alpha ''=\phi ''(A,B,C,\ldots \beta ''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3557d5529e23ef957d690026c68097a5a5232a0c)
. . . . . . . . . . . . . . .
Il s’agirait donc de démontrer que les fonctions
sont
les mêmes ou, ce qui revient au même, qu’il faut constamment exécuter
sur les différentes valeurs de
la même série d’opérations pour en
conclure les valeurs correspondantes de
; il faudrait prouver en
outre qu’à chaque valeur de
non comprise dans la série
il doit nécessairement correspondre une valeur de
; or, c’est ce
qui ne me paraît pas établi par le raisonnement de M. du Bourguet.
J’ai ouï dire, au surplus, que M. Gauss était parvenu à démontrer
que toute équation est décomposable en facteurs réels du second
degré au plus, sans supposer la décomposition en facteurs du premier degré. S’il en est ainsi, le principe que M. du Bourguet a eu en vue de démontrer, se trouve être une conséquence toute naturelle de celui-là.
Agréez, etc.
Grenoble, le 7 mai 1812.