GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
De la génération de la parabole, par l’intersection
de deux lignes droites ;[1]
Par M. G. M. Raymond, principal du collège de Chambéri,
membre de plusieurs Sociétés savantes et littéraires.
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Soient 
(fig. 3) deux droites perpendiculaires l’une à
l’autre, prises, la première pour axe des 
, et la seconde pour
axe des 
Soit 
un point fixe pris sur 
et soit 
une droite mobile assujettie à passer constamment par ce point 
Soit 
une autre droite mobile, coupant la première en 
et la droite 
en 
; soit menée l’ordonnée 
du point variable 
Supposons que le mouvement de soit lié à celui de autour du point fixe 
de manière qu’on ait constamment
;
et proposons-nous de déterminer le lieu géométrique de l’intersection des deux droites et 
Posons 
; les équations des deux droites et seront de la forme
(1)
(2)
on trouvera d’après cela
or, suivant les conditions du problème, 1.o 
et 
doivent être égaux et de signes contraires ; 2.o la tangente de l’angle 
doit être égale à celle de l’angle 
c’est-à-dire, égale à 
; ainsi on aura, entre les trois constantes 
les deux équations
si donc, entre les équations (1), (2), (3), (4), on élimine les trois quantités l’équation résultante en 
et 
sera celle de la courbe cherchée.
L’élimination s’exécute assez facilement comme il suit. D’abord en prenant le produit des équations (4) et (5), et exécutant toutes les réductions qui se présentent, on a
d’un autre côté, en chassant les dénominateurs dans l’équation (3),
et ayant égard à l’équation (5), il vient
éliminant 
entre cette dernière et l’équation (2), on a
l’équation (7), combinée avec l’équation (1), donne
enfin, ces valeurs étant substituées dans l’équation (5), on obtient,
toutes réductions faites,
L’égalité du premier facteur à zéro donnerait évidemment un point
conjugué, situé en ; rejetant donc ce facteur, l’équation de la
courbe décrite par le point sera
c’est-à-dire, que cette courbe sera une parabole, ayant le point 
pour sommet et le point pour foyer.
Soit porté 
sur le prolongement de de en 
; par le point
soit menée une parallèle 
à 
et soit enfin abaissée, du point
une perpendiculaire 
sur cette parallèle ; à cause des angles
égaux et et de 
on aura
ainsi chaque point de la courbe est à une même distance de la
droite et du point
L’inclinaison de la droite étant donnée, il ne peut y avoir
qu’une seule direction de 
pour laquelle la condition 
soit satisfaite ; donc la droite n’a que le seul point
de commun avec la courbe et lui est conséquemment tangente
en ce point ; et, comme on a, par construction,
il en faut conclure que, dans la parabole, la tangente en un point divise en deux parties égales l’angle formé par le rayon vecteur et le prolongement d’une parallèle à l’axe menés par ce même point ; enfin, de ce que on voit que, dans la parabole, la sous-tangente est double de l’abscisse.
Nous venons de voir qu’on a constamment 
et 
; si donc l’angle 
est droit ou, ce qui revient au même, si le point, coïncide avec le point 
le quadrilatère 
deviendra un quarré ; et 
qui en sera la diagonale, viendra passer par le point ; on aura donc alors 
; ainsi, dans la parabole, l’ordonnée qui répond au foyer est double de la distance de ce foyer au sommet ; la tangente à l’extrémité de cette ordonnée fait un angle demi-droit avec elle, et passe par l’intersection de l’axe de la courbe avec sa directrice. Cette dernière propriété de la parabole lui est commune, au surplus, avec l’ellipse et l’hyperbole.
D’après ce qui précède, en désignant par 
et 
les coordonnées du point l’équation de la tangente en ce point sera
ou
ou, en mettant pour 
sa valeur 
et réduisant ;
l’équation de toute corde parallèle à cette tangente sera donc de la forme
On obtiendra les coordonnées des extrémités de cette corde, en combinant cette dernière équation avec l’équation
L’élimination de entre ces deux équations donne
la somme des ordonnées des extrémités de la corde dont il s’agit
est donc 
; la moitié de cette somme, c’est-à-dire, l’ordonnée
du milieu de la corde est donc 
; cette corde a donc son
milieu sur le prolongement 
de la parallèle menée à l’axe
par le point Ainsi, dans la parabole, toute parallèle à l’axe est un diamètre de la courbe.
Ce qui précède, et ce qui a déjà été dit dans l’article auquel
celui-ci fait suite, paraît très-propre à faire voir combien le choix
des constructions, dans la génération des courbes, peut influer sur
la déduction, plus ou moins facile et lumineuse, de leurs diverses
propriétés.
Chambéry, 12 février 1812.
