Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Trigonométrie, article 2

Développement en séries des sinus et cosinus suivant l’arc, et de l’arc suivant sa tangente ; par M. Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 344-346).

FONCTIONS CIRCULAIRES.

Développemens, en séries, des sinus et cosinus suivant
l’arc, et de l’arc suivant sa tangente ;

Par M. Gergonne.

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I. Le sinus d’un arc variant de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer

$\operatorname {Sin} .x=Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+\ldots \,;\qquad$(1)

et conséquemment

$\operatorname {Sin} .y=Ay+By^{3}+Cy^{5}+Dy^{7}+\ldots \,;\qquad$(2)

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y)=A\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]+\left[B{\tfrac {1}{2}}(x-y)^{3}\right]+\ldots \qquad$(3)

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation

$\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .y=2\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y),$

les deux membres de l’équation résultante seront divisibles par ${\tfrac {1}{2}}(x-y)$ et, en exécutant la division, il viendra

$\left\{A+B\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{2}+C\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{4}+\ldots \right\}\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)=$

$A+B\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+C\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)+\ldots$

Si, dans cette dernière équation, on fait $y=x,$ elle se réduira à

$A\operatorname {Cos} .x=A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+\ldots \,;\qquad$(4)

on aura donc aussi

$A\operatorname {Cos} .y=A+3By^{2}+5Cy^{4}+7Dy^{6}+\ldots \,;\qquad$(5)

substituant les valeurs de $\operatorname {Cos} .x$ et $\operatorname {Cos} .y,$ données par ces deux équations, ainsi que celle de $\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y),$ donnée par l’équation (3), dans l’équation

$\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y),$

les deux membres de l’équation résultante seront divisibles par ${\tfrac {1}{2}}(x-y),$ et, en exécutant la division, il viendra

$A\left\{A+B\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{2}+C\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{4}+\ldots \right\}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)=$

$-3B(x+y)-5C\left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)-\ldots$

Si, dans cette dernière équation, on fait $y=x,$ elle deviendra

$A^{2}\operatorname {Sin} .x=-2.3Bx-4.5Cx^{3}-6.7Dx^{5}-\ldots \,;$

mais l’équation (1) donne

$A^{2}\operatorname {Sin} .x=A^{3}x+A^{2}Bx^{3}+A^{2}Cx^{5}+\ldots \,;$

on aura donc

$-2.3B=A^{3},\qquad -4.5C=A^{2}B,\qquad -6.7D=A^{2}C,\ldots$

et par conséquent

$B=-{\frac {A^{3}}{1.2.3}},\quad C=+{\frac {A^{5}}{1.2.3.4.5}},\quad D=-{\frac {A^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}},\ldots \,;$

donc enfin (1 et 4)

$\operatorname {Sin} .x={\frac {Ax}{1}}-{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {A^{5}x^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {A^{7}x^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \,;$

$\operatorname {Cos} .x=1-{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{4}x^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {A^{6}x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots .$

Il est d’ailleurs facile de prouver que la constante $A$ doit être égale à l’unité.^[1]

II. La tangente d’un arc variant aussi de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer

$x=A\operatorname {Tang} .x+B\operatorname {Tang} .^{3}x+C\operatorname {Tang} .^{5}x+\ldots \,;\qquad$(6)

on aura donc aussi

$y=A\operatorname {Tang} .y+B\operatorname {Tang} .^{3}y+C\operatorname {Tang} .^{5}y+\ldots \,;\qquad$(7)

$x-y=A\operatorname {Tang} .(x-y)+B\operatorname {Tang} .^{3}(x-y)+\ldots \,;\qquad$(8)

Si l’on égale la valeur de $x-y$ donnée par les équations (6 et 7) à celle que donne l’équation (8), en mettant en évidence le facteur $\operatorname {Tang} .x-\operatorname {Tang} .y,$ qui affecte l’un des membres de l’équation résultante ; il viendra

$(\operatorname {Tang} .x-\operatorname {Tang} .y)\left\{A+B\left(\operatorname {Tang} ,^{2}x+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y+\operatorname {Tang} .^{2}y\right)+\ldots \right\}$

$=\operatorname {Tang} .(x-y)\left\{A+B\operatorname {Tang} ,^{2}(x-y)+C\operatorname {Tang} .^{4}(x-y)+\ldots \right\}\,;$

mais on a

$\operatorname {Tang} x-\operatorname {Tang} .y=(1+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y)\operatorname {Tang} .(x-y),$

substituant donc, et supprimant le facteur commun $\operatorname {Tang} .(x-y),$ on aura

$\left(1+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y\right)\left\{A+B\left(\operatorname {Tang} .^{2}x+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y+\operatorname {Tang} .^{2}y\right)+\ldots \right\}$

$=A+B\operatorname {Tang} ,^{2}(x-y)+C\operatorname {Tang} .^{4}(x-y)+\ldots \,;$

posant alors $y=x,$ cette équation deviendra simplement

$A=\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}x\right)\left\{A+3B\operatorname {Tang} .^{2}x+5C\operatorname {Tang} .^{4}x+\ldots \right\}\,;$

ou, en développant,

$\left.{\begin{aligned}A=A&+3B\\&+A\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{2}x&+5C\\&+3B\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{4}x&+7D\\&+5C\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{6}x&+\ldots \,;\\&\\\end{aligned}}$

donc

$3B+A=0,\qquad 5C+3B=0,\qquad 7D+5C=0,\ldots \,;$

d’où

$B=-{\tfrac {1}{3}}A,\qquad C=+{\tfrac {1}{5}}A,\qquad D=-{\tfrac {1}{7}}A,\ldots \,;$

donc enfin (6)

$x=A\left(\operatorname {Tang} .x-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Tang} .^{3}x+{\tfrac {1}{5}}\operatorname {Tang} .^{5}x-\ldots \right)\,;$

on parviendra d’ailleurs facilement à s’assurer que la constante $A$ doit être égale à l’unité.

1. Voyez la Théorie des fonctions analitiques.