ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstrations élémentaires du théorème de d’Alembert
sur la forme des imaginaires ;
Par M. Du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
D’alembert a démontré le premier, mais par Ils calculs différentiel et intégral, que toute quantité imaginaire
![{\displaystyle \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2673bacf2cb93a3878d9e35c878ff8f9ae3630b8)
peut toujours être ramenée à la forme
![{\displaystyle p\pm q{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2f16d66d6c80d8cd53ae5e8ca701aefbe039d4)
(Voyez le Calcul intégral de Bougainville, page 42).[1]
Il y a environ onze ans qu’ayant vainement cherché, dans les
auteurs les plus estimés à cette époque, une démonstration élémentaire du même théorème, je m’occupai à en trouver une, soit
algébrique soit géométrique ; j’en obtins, en effet, une fort simple de
cette dernière sorte ; c’est celle que j’annonçai en 1802, dans un ouvrage
d’algèbre que je publiai à cette époque. Mais, depuis ce temps,
M. Garnier ayant donné une démonstration semblable, dans un
ouvrage qu’il a publié en 1804, sous le nom d’Analise algébrique,
j’ai cru devoir reprendre mes recherches pour obtenir du même
théorème une démonstration purement algébrique. Voici celle que
j’ai obtenue, et qui me paraît préférable à l’autre ; car, outre qu’elle
est fort simple, il me paraît très-convenable de ne faire dépendre
la démonstration du principe général que toute fonction de quantités imaginaires est réductible à la forme
, de la seule branche
des sciences exactes dont ce principe fait partie.
On sait que, quels que soient
et
on a
![{\displaystyle (a\pm b)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cceff523d7963d4cd332b5a0c4343be705759ae)
![{\displaystyle a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}\left\{1\pm {\frac {m\pm n{\sqrt {-1}}}{1}}{\frac {b}{a}}+{\tfrac {m\pm n{\sqrt {-1}}}{1}}.{\tfrac {m-1\pm n{\sqrt {-1}}}{2}}\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}\pm \ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3852dea3e7d461dc5558017600abbc1a0aea2bb5)
on aura donc, en changeant
en
![{\displaystyle (a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a834cea865500dad75de7fdcbc321d6142e20d4)
![{\displaystyle a^{m\mp n{\sqrt {-1}}}\left\{1\pm {\tfrac {m\pm n{\sqrt {-1}}}{1}}\left({\tfrac {b{\sqrt {-1}}}{a}}\right)-{\tfrac {m\pm n{\sqrt {-1}}}{1}}.{\tfrac {m-1\pm n{\sqrt {-1}}}{2}}\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}\mp \ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61840ab6325d9eff7fea5d44c307e4b71107a21c)
Or, toutes les puissances paires de
étant égales à
, et
toutes ses puissances impaires étant égales à
il s’ensuit qu’en
exécutant toutes les multiplications, entre les accolades du second
membre de l’équation (1), on obtiendra une suite de termes réels,
dont l’ensemble pourra être représenté par
et une suite de termes
affectés de
dont l’ensemble pourra être représenté par
; en sorte que l’équation (1) deviendra simplement
(2)
![{\displaystyle \qquad (a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}\left(g\pm h{\sqrt {-1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4d257bdce3d103a3b48e60673c5b79678c1e96)
Mais, par la théorie des quantités exponentielles, théorie indépendante de l’exposant de la base, on a, en désignant par
le logarithme naturel de ![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
![{\displaystyle a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb8c16cf683c8a7a0f548d14c20ad84d00d6ce8)
(3)
![{\displaystyle \quad 1+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)}{1}}\operatorname {l} a+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {l} a\right)^{2}+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{1.2.3}}\left(\operatorname {l} a\right)^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e877e19568eb88b5136244d0e853d214ae2b951)
qui, pour les mêmes raisons que ci-dessus, pourra être réduit à la forme
![{\displaystyle a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=c\pm d{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874917b32c7a44a71ce135d5549a5fa985c584fd)
substituant donc cette valeur dans l’équation (2), il viendra, en développant, et posant pour abréger
![{\displaystyle cg-dh=p,\qquad ch+dg=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd66fac8d6657774673849bfccbc2b875b9c0314)
![{\displaystyle (a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a834cea865500dad75de7fdcbc321d6142e20d4)
![{\displaystyle \left(c\pm d{\sqrt {-1}}\right)\left(g\pm h{\sqrt {-1}}\right)=(cg-dh)\pm (ch+dg){\sqrt {-1}}=p\pm q{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb20a606bfa358643b2c85d9239101013112d9c)
comme nous l’avions annoncé.
Voici présentement la démonstration géométrique du même théorème, que j’avais annoncée, dans l’ouvrage d’algèbre publié en 1802,
Soit posé
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}=\operatorname {Cot} .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d54887696aea6b06e413525f8be9b6c71fab26)
il viendra
![{\displaystyle a={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\operatorname {Cos} .\omega ,\qquad b={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\operatorname {Sin} .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69bb62d4d5a8225ad062169d277483b6dd46e86)
donc
![{\displaystyle a\pm b{\sqrt {-1}}=\left(\operatorname {Cos} .\omega \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\omega \right){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5b6404cb847f5cc37fc93546b60104e663fac5)
et
![{\displaystyle \operatorname {l} \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)={\tfrac {1}{2}}\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+\operatorname {l} \left(\operatorname {Cos} .\omega \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\omega \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b9cae3f850823a36045d21677b791b68ede321)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)\pm \omega {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c488ae985f5ade39be28344859f6f199ba3939)
Multipliant les deux membres de cette dernière équation par
il viendra
![{\displaystyle \operatorname {l} .\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=\left\{{\tfrac {1}{2}}m\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)-n\omega \right\}\pm \left\{{\tfrac {1}{2}}n\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+m\omega \right\}{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9f4c83f981c47e1a03d2ea7d02e91616c3fa8a)
posant alors, pour abréger
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)-n\omega =g\qquad {\tfrac {1}{2}}n\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+m\omega =h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a76cb822f7e99a057ad5ba8dc1ba9e1acd94a79)
et repassant des logarithmes aux nombres, il viendra
![{\displaystyle \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=e^{g}.e^{\pm h{\sqrt {-1}}}=e^{g}\operatorname {Cos} .h\pm {\sqrt {-1}}e^{g}\operatorname {Sin} .h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfdb53c677ba52595be18d90299ed737bc08661b)
posant donc enfin
![{\displaystyle e^{g}\operatorname {Cos} .h=p,\qquad e^{g}\operatorname {Sin} .h=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1be2226cd6a4af23e2e3283edec3304fd59ab0)
on aura, de nouveau
[2]