Solutions du problème d’architecture proposé à la
page 92 de ce volume.
Énoncé. La base et la montée d’une anse de panier, dont le nombre des centres est
étant données ; construire la demi-anse, dont par conséquent le nombre des centres sera
avec la condition que tous les arcs de cette demi-anse soient semblables, et que leurs rayons forment une progression géométrique ?
Faire une application de la solution générale au cas particulier où
et où, par conséquent, chacun des arcs de la demi-anse serait de 30.° ?
Première solution ;
Par M. Argand.
Soient
la montée
de l’anse de panier (fig. 3),
la demi-base
le nombre des centres,
le premier rayon
le
quotient
l’angle
On aura d’abord les équations
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\mathrm {AP=AQ} =x,&\qquad \mathrm {AB} =x(z-1),&\qquad b\mathrm {C} =b\mathrm {B+BC} ,\\\mathrm {BQ=BR} =xz,&\qquad \mathrm {BC} =xz(z-1),&\qquad c\mathrm {D} =c\mathrm {C+CD} ,\\\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {ET=EU} =xz^{n-1};&\qquad \mathrm {DE} =xz^{n-1}(z-1);&\qquad d\mathrm {E} =d\mathrm {D+DE} .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6abb71917200cc9799345dc81d2209cc2d5f2f6)
Tous les angles des triangles
sont connus ; ainsi, en partant du côté
on déterminera successivement les côtés
et
au moyen des équations précédentes et de la proportionnalité entre les sinus et les côtés.
On aura ensuite
![{\displaystyle \mathrm {M} =xz^{n-1}-e\mathrm {E} ,\qquad \mathrm {B} =x+\mathrm {A} b+bc+\ldots +de.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2b9a9f0162d9d5a1a4b1b6f9639937353ad9c1)
En faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .n\alpha -\operatorname {Sin} .(n-1)\alpha =P_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2c4b6b538e95a2a7887b0a99520af03aee651e)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(n-1)\alpha -\operatorname {Sin} .(n-2)\alpha =P_{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f01469d44ddd07ab3a14efe4592f061420bc09)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d60af00ea36a413b62d5d6cc3b19998f810b02c)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .0=P_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4811afbfe652ed803b4bea45fe94626a916df124)
on trouvera, réductions faites,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}M&=x\left(P_{n}z^{n-1}+P_{n-1}z^{n-2}+\ldots +P_{2}z+P_{1}\right),\\B&=x\left(P_{1}z^{n-1}+P_{2}z^{n-2}+\ldots +P_{n-1}z+P_{n}\right).\\\end{aligned}}\right.\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87625938fa7ed5a20788c490418dc9a259c3d55f)
En éliminant
, entre ces deux équations, on a, pour la détermination de
l’équation du
degré
![{\displaystyle \left(BP_{n}-MP_{1}\right)z^{n-1}+\left(BP_{n-1}-MP_{2}\right)z^{n-2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8961539430cf9bac9ed92d61e8467cdf4228a7f8)
![{\displaystyle +\left(BP_{2}-MP_{n-1}\right)z+\left(BP_{1}-MP_{n}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a67966668ead305f8a4aa7c3886024784c7b705)
Les équations (1) peuvent se mettre sous la forme définie
![{\displaystyle M={\frac {2x\left[z^{n}(z+1)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha -(z-1)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha \right]\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }{z^{2}-2z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha +1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d424d71a83f74079e9294950d2ce6f7d5ff98ee6)
![{\displaystyle N={\frac {2x\left[z^{n}(z-1)\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha +(z+1)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha \right]\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }{z^{2}-2z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\alpha +1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203049d867ba85c9b3e840023d3fd88889b62aa1)
Lorsque
est un grand nombre, ces dernières formules sont plus commodes que les précédentes, pour appliquer la règle de fausse position à la détermination des inconnues.
Pour le cas de
en posant, pour abréger
![{\displaystyle B+M=S,\qquad B-M=D,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6af5756c9db3c2334cb26f4894180fe9a3600f)
on trouve d’abord
![{\displaystyle z={\frac {D\pm {\sqrt {S^{2}-2D^{2}}}}{S-D{\sqrt {3}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff37ce65faeb9eca3e05f01971a918f74a5bae41)
et ensuite
![{\displaystyle x={\frac {2M}{\left(2-{\sqrt {3}}\right)z^{2}+\left({\sqrt {3}}-1\right)z+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034a21b37c4858717bcbbba85ec19d6e52426083)
Soient, par exemple,
; d’où
; il viendra
![{\displaystyle z={\frac {1\pm {\sqrt {23}}}{5-{\sqrt {3}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3abfcf5dd7686dcf74c0f6ba1b997df885be97)
L’adoption des signes supérieur et inférieur donne respectivement
![{\displaystyle z=+1,78,\qquad z=-1,16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfa3dd6babb3d121ba35aa808b98ebb843e40b3)
d’où on conclut
![{\displaystyle x=+1,27,\qquad x=+7,81\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b67344946e75c8a6860bbf578f787b2d87075a2)
on trouve ensuite, pour les autres rayons
![{\displaystyle xz=+2,26\qquad xz=-9,08,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e95b43dc5b4f76cae8bbdeb6b8f4af929aa5414)
![{\displaystyle xz^{2}=+4,01\qquad xz^{2}=+10,55\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70938058f73b6d935ae0dfdaceba9565819d7102)
le tout, en se bornant aux centièmes. Le signe négatif qui affecte le deuxième rayon dans le second cas, indique que ce rayon doit être pris en sens inverse des deux autres. Les figures 4 et 5
indiquent de quelle manière les arcs s’assemblent dans les deux cas.
Soient encore
![{\displaystyle B={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}},\qquad M={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed83531699636d8aa2a397127ac70b3da0b5c7a6)
Il vient
![{\displaystyle z={\frac {1\pm 1}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4123b818f8deec14220f6d64d368758f510b8211)
En prenant les signes supérieurs,
devient infini. Alors
et
sont nuls ; mais
La demi-anse se réduit donc ainsi au troisième arc ; le premier et le
second se confondant alors avec l’origine du troisième.
Le signe inférieur donne à
une valeur indéterminée
; mais
on trouve par les règles connues que cette valeur est
; d’où
résulte une construction analogue à celle de la figure 5.
Si l’on supposait, au contraire ;
![{\displaystyle B={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}},\qquad M={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38da56f069f0ba127aee1330ed2ba44c3fda0eb5)
on trouverait pareillement que la demi-anse doit se réduire à
un seul arc, lequel devrait alors être le premier, avec l’extrémité
duquel se confondraient le second et le troisième, ainsi que cela
doit être d’ailleurs ; car il est évident que les suppositions
et
conduisent à deux constructions qui ne
diffèrent que par la situation de la courbe.
Deuxième solution ;
Par M. Bérard, principal et professeur de mathématiques
au collège de Briançon.
Ce problème n’est qu’un cas particulier d’un problème plus général qui fait partie d’un petit traité sur les anses de paniers que
j’ai placé à la suite de ma statique des voûtes (page 149)[1].
Je pourrais donc me contenter de renvoyer à cet ouvrage ; mais,
en faveur de ceux qui ne l’ont pas, je vais entrer dans quelques
détails sur ce sujet.
Une anse de panier est l’assemblage de plusieurs arcs de cercles
de rayons différens, qui se touchent consécutivement : autrement,
c’est une des développantes d’un polygone ou d’une portion de
polygone convexe.
Soient
la demi-base de l’anse de panier ;
sa montée ;
le nombre des arcs ou centres de la demi-anse ;
les rayons successifs, de la naissance à la claie ;
le nombre des degrés des arcs, en allant
toujours de la naissance à la claie ;
les côtés consécutifs du polygone formé par
la rencontre successive des rayons
les projections de ces côtés sur la demi-base
;
les projections des mêmes côtés sur la montée
;
D’après quoi on aura
Il est aisé de voir qu’alors on aura cette suite d’équations
![{\displaystyle A=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b399229fc45c6bb088856f80dc2057a06af83f49)
![{\displaystyle r_{5}-B=b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots +b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb7ff960e78f1af3f523a39cd2d8c64997e3bd1)
![{\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3},\ldots +\alpha _{n}={\tfrac {1}{2}}\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8517c25b12b16d030f606606deb4c23b48729b5d)
![{\displaystyle {\begin{array}{rlrl}a_{1}=&c_{1},&b_{1}=&0,\\a_{2}=&c_{2}\operatorname {Cos} .\alpha _{1},&b_{2}=&c_{2}\operatorname {Sin} .\alpha _{1},\\a_{3}=&c_{3}\operatorname {Cos} .\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right),&b_{3}=&c_{3}\operatorname {Sin} .\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right),\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \\a_{n}=&c_{n}\operatorname {Cos} .\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n-1}\right),&b_{n}=&c_{n}\operatorname {Sin} .\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n-1}\right)\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0846644d6b879ace755be16949d669f28b6a73c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}=&c_{1}\\r_{2}=&r_{1}+c_{2}\\r_{3}=&r_{2}+c_{3}\\\ldots &\ldots \ldots \\r_{n}=&r_{n-1}+c_{n}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d563ef1e90f8a8ac8823e51e477eb8712ecb885e)
lesquelles seraient insuffisantes pour déterminer les inconnues du problème.
Mais, si l’on veut que les arcs soient égaux, et qu’on désigne l’un d’eux par
et si l’on veut de plus que les rayons forment une progression géométrique dont le premier terme soit
et la raison
, on aura en outre
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}={\frac {\varpi }{2n}},&\qquad r_{1}=r,\\\alpha _{1}+\alpha _{2}={\frac {2\varpi }{2n}},&\qquad r_{2}=\lambda r,\\\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}={\frac {3\varpi }{2n}},&\qquad r_{3}=\lambda ^{2}r,\\\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\qquad \ldots \ldots \ldots ,\\\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\ldots \alpha _{n}={\frac {n\varpi }{2n}},&\qquad r_{n}=\lambda ^{n-1}r\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ccfe1d8f06d0a731a1d139364207abbcb8d3ff5)
au moyen de quoi on aura d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&r,\\c_{2}=&(\lambda -1)r,\\c_{3}=&\lambda (\lambda -1)r,\\\ldots &\ldots \ldots \\c_{n}=&\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2519cfcd8bd58e8f0e9e4289000d5e7cdd489a)
et par suite
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}a_{1}&=r,&\qquad b_{1}=0,\\a_{2}&=(\lambda -1)r\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2n}},&\qquad b_{2}=(\lambda -1)r\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2n}},\\a_{3}&=\lambda (\lambda -1)r\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{2n}},&\qquad b_{3}=\lambda (\lambda -1)r\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{2n}},\\\ldots &\ldots \ldots ,&\qquad \ldots \ldots \ldots ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904dc0b27df73bafe18d0c061140c10c5e7f32a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}=\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\,;&\quad b_{n}=\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de4aeccefd8cf5ff377b52e722741177338fa5a)
d’où on conclura
![{\displaystyle A-r=r(\lambda -1)\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\lambda ^{2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {3\varpi }{2n}}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d5a285d5d5cb22d686ea050f974fcc5b6462de)
![{\displaystyle \left.+\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fb6652da996f78ac14e0054d7fa9cd0bb16eac)
![{\displaystyle \lambda ^{n-1}r-B=r(\lambda -1)\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\lambda ^{2}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{2n}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450876cde514cb4d3211b1d9ac636f3a2ad57765)
![{\displaystyle \left.+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4591ecd303e1efbb7c457ed8b05875b4280215)
et telles sont les équations qui doivent déterminer les deux inconnues
et
du problème.
Si l’on prend la somme de leurs produits respectifs par
et
cette somme deviendra divisible par
et en observant qu’en général
on aura
![{\displaystyle \lambda ^{n-1}A-B=(\lambda -1)\left\{{\begin{aligned}&A\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-2)\varpi }{2n}}+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}\right]\\+&B\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right]\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27ee73a8731a4d71a991de646def7a8b996f535)
équation qui ne renferme plus que la seule inconnue ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Dans le cas de l’anse de panier à cinq centres, en posant, pour abréger
![{\displaystyle {\begin{aligned}A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi +B\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi =&M,\\A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi +B\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi =&N,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae416953fe70a4603103a13dc0460301f537efe0)
il viendra
![{\displaystyle \qquad (A-M)\lambda ^{2}+(M-N)\lambda -(B-N)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcaeeaeb937494574a27422905e055cecb3de97)
d’où
la première des deux équations en
et
donnera ensuite
![{\displaystyle r={\frac {A}{1+(\lambda -1)\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi +\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi \right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046f6f21d3f37b54f87d5ccba4d73396220e1ea2)
Si, par exemple on suppose
on trouvera
Remarques. L’auteur du problème proposé a eu raison de demander que les rayons forment une progression géométrique, parce qu’alors les changemens de courbure, d’un arc à l’autre, suivent le même rapport ; mais il n’a pas été aussi bien fondé à exiger que les arcs soient semblables ; en effet, dans ce cas, les longueurs des arcs
sont en progression géométrique, et ce système n’est pas celui qui présenta le plus d’avantages ; il paraît plus convenable que tous les arcs soient de même longueur et que l’anse ait beaucoup de centres, à moins qu’on n’ait intérêt à augmenter l’espace renfermé par l’anse, ou le volurme d’eau qu’elle doit laisser passer. On peut voir toutes ces questions dans l’ouvrage côté ; on y trouve (pag. 153, prob. 6), l’équation d’une courbe dans laquelle les changement de courbure se font par des degrés égaux.
Par analogie, on peut demander l’équation d’une courbe telle que les rayons de courbure, infiniment proches et également inclinés entre eux, forment une progression géométrique.
Soient
et
les coordonnées d’un point quelconque de la courbe,
le rayon vecteur de ce point et
la longueur de l’arc comptée depuis un certain point fixe ; on voit que l’angle formé par l’axe des
avec la normale est le logarithme du rayon de courbure ; c’est-à-dire, qu’on a
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)=c\operatorname {Log} .r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9134fc97ff4145e5e710429bbaf8e143e020e2bf)
étant une constante. En différentiant, il vient
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)}{1+\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}}}={\frac {c\operatorname {d} r}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58693183d8bbb181bdcd46ce72d52e2a06012377)
Substituant pour
sa valeur
il vient
![{\displaystyle \operatorname {d} s=c\operatorname {d} r,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d16804ac285712a060e0726b236197d080f3b6)
d’où
![{\displaystyle s+c'=cr\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463203c24f9b5f5b8300d0376bb7c4e4618fb86e)
(1)
étant une nouvelle constante.
Pour intégrer de nouveau l’équation (1), j’y mets pour
sa valeur qui, en supposant
constant, est
et j’ai
![{\displaystyle s+c'=-c{\frac {\operatorname {d} x\operatorname {d} s}{\operatorname {d} ^{2}y}}=-c{\frac {\operatorname {d} s{\sqrt {\operatorname {d} s^{2}-\operatorname {d} y^{2}}}}{\operatorname {d} ^{2}y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331a7c6d06d78c2a8b27cefe17a6f524ebd25d2a)
d’où, en faisant
il vient
![{\displaystyle -{\frac {\operatorname {d} p}{\sqrt {1-p^{2}}}}={\frac {c\operatorname {d} s}{s+c'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5224a789fa6ea7796ba9bb345d56cb4506b0b0d6)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=p)=c\operatorname {Log} .(s+c')+\operatorname {Log} .c'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8fc7fbb94e795555caab67c9489046169b5328c)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad p=\operatorname {Cos} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559bfa9bebac97c1f93cded2203ccff83b405fed)
(2)
Remettant dans (2) pour
sa valeur
et intégrant de nouveau, il vient
![{\displaystyle y=c'''+\int \operatorname {d} s.\operatorname {Cos} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4164a8e0c28bcb8ee03c2d4a324ce2f69e59bd)
(3)
Mettant enfin pour
cette même valeur dans
et intégrant, on aura
![{\displaystyle x=c''''+\int \operatorname {d} s.\operatorname {Sin} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78df7c9f8b130b9e2237945228716f5a353b40ed)
(4)
On déterminera les cinq constantes par les conditions suivantes :
1.o qu’à l’origine on a
et
2.o qu’au sommet de la courbe on a
3.o que, quand
on doit avoir
4.o que, quand
on doit avoir
5.o enfin que, quand
on doit avoir
La courbe donnée par les équations (3) et (4) est celle dans laquelle
(suivant le langage de M. Français) les rayons de courbure sont en progression de grandeur et de position.[2]