GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Mémoire sur les surfaces du second ordre ;
Par M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
l’académie de Grenoble.
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J’ai donné, dans les Annales de Mathématiques, (tome II ;
page 144), l’équation qui détermine la grandeur des diamètres
principaux, dans les surfaces du second ordre, rapportées à des
axes rectangulaires. Je me propose ici de revenir de nouveau sur
ce sujet, pour le traiter d’une manière plus générale et plus complète ;
mais auparavant je donnerai, sur la ligne droite et le plan, quelques
notions dont j’ai besoin pour parvenir à mon but.
Dans tout ce qui va suivre, je supposerai constamment aux axes
des coordonnées des directions quelconques ; et j’adopterai les notations
que voici.
§. I. Équations du plan et de la ligne droite.
Concevons que, de l’origine, on ait abaissé une perpendiculaire
sur le plan dont on veut obtenir l’équation ; et soient
les coordonnées courantes de ce plan ; il est visible que la somme des
projections des coordonnées d’un point quelconque du plan
dont il s’agit sur la perpendiculaire en détermine exactement la
longueur. Si donc on dénote respectivement par
les angles
que forme cette perpendiculaire avec les trois axes, l’équation du plan sera
(A)
On exprime communément une droite, dans l’espace, en écrivant les équations de ses projections sur deux quelconques des plans coordonnés ; mais il est souvent plus commode et plus élégant de s’y prendre ainsi qu’il suit : soient les coordonnées fixes d’un point déterminé de la droite, et soit la distance variable de ce point à un autre point quelconque de cette même droite, dont les coordonnées courantes sont supposées on écrira
(B)
étant des fonctions angulaires, non susceptibles de devenir infinies, et qui demeurent constantes pour toute l’étendue de la droite ; l’élimination de entre ces trois équations, conduirait aux équations ordinaires de la ligne droite.
§. II. Du centre, du plan diamétral et du plan tangent, dans les
surfaces du second ordre.
Soit posée, pour l’équation générale des surfaces du second ordre,
(C)
Si, dans cette équation, on substitue, pour les valeurs données par les équations (B), en posant, pour abréger,
la transformée sera
(D)
Dans cette équation, est la distance entre le point fixe et celui où la droite (B) rencontre la surface (C) ; elle est du second degré, parce qu’en général la droite (B) rencontre la surface (C) en deux points.
Il peut être intéressant de discuter ce qui arrive, lorsque quelques-uns des coefficiens deviennent nuls, ou lorsque
l’équation (D) a ses deux racines égales. Je bornerai cette discussion
aux seuls cas qu’il m’est nécessaire de considérer.
1.o Si le coefficient est seul nul, les deux valeurs de seront
égales et de signes contraires, quels que soient d’ailleurs et alors on pourra distinguer deux cas :
Si d’abord on suppose que sont les coordonnées d’un
point fixe, mais inconnu, tandis que sont indéterminés,
ce point fixe sera le centre de la surface (C) ; et on le déterminera
en exprimant que l’équation a lieu indépendamment de toute
détermination des quantités ; ce qui conduira aux trois
équations
(E)
Si, aucontraire, sont constans, et indéterminés,
l’équation exprimera que le plan dont les coordonnées courantes sont contient les milieux de toutes les cordes
parallèles à une certaine droite fixe, et est conséquemment un plan
diamétral ; l’équation générale du plan diamétral est donc
(F)
2.o Si, outre l’équation on a encore cette dernière équation exprimera d’abord que le point est sur la surface (C) ; et, puisqu’alors les valeurs de seront toutes deux
nulles, la droite (B) sera une tangente à cette surface. Or, comme
le système des équations laisse encore les quantités indéterminées, il s’ensuit que, par un même point pris sur (C), on peut lui mener une infinité de tangentes. L’équation du lieu de toutes ces tangentes s’obtiendra en
éliminant de l’équation au moyen des équations
(B). Ce lieu, qui est le plan tangent par le point a
donc pour équation
En simplifiant cette équation, au moyen de l’équation de relation
elle prend la forme
(G)
Il est aisé de voir que l’équation seule exprimerait que
la droite (B) ne rencontre la surface (C) qu’en un point, lequel
serait le point si l’on avait en outre On voit
aussi que, si l’on avait, à la fois, l’équation (D)
et conséquemment l’équation (C) seraient absurdes, à moins qu’on n’eût
en même temps auquel cas, demeurerait indéterminée ; on pourrait donc, par chacun des points de la surface (C), mener
au moins une droite qui y fût entièrement contenue ; cette surface
serait donc une surface gauche ou une surface développable. Enfin,
si l’équation (D) avait ses deux racines égales ou, ce qui revient
au même, si l’on avait l’équation les équations (B)
deviendraient celles d’une tangente par un point extérieur laquelle tangente demeurerait indéterminée ; on parviendrait donc à
l’équation du lieu de toutes les tangentes menées par ce point,
c’est-à-dire, à l’équation de la surface conique circonscrite, ayant
ce même point pour centre ou sommet, en chassant de
l’équation , au moyen des équations (B).
§. III. Transformation générale des coordonnées.
Pour établir les formules qui servent à passer d’un système rectangulaire ou oblique de coordonnées
à une autre système
quelconque de coordonnées ; il suffit de remarquer que chacune des grandeurs doit être une fonction entière du
premier degré en ; on est dès-lors fondé à écrire, l’origine
étant la même pour les deux systèmes,
(H)
En faisant successivement, dans ces formules, les trois hypothèses suivantes
on trouvera, pour les équations respectives des axes des rapportés au système primitif
§. IV. De la sphère et de son plan tangent.
Si l’on suppose que désignent les coordonnées rectangulaires des points d’une sphère qui a son centre à l’origine et son rayon égal à on aura évidemment
D’après les formules (H) l’équation de la même sphère, rapportée
à des coordonnées obliques sera
si, dans cette dernière équation, on fait successivement les trois hypothèses on obtiendra pour les équations des traces de la sphère sur les trois plans coordonnés
mais on sait d’ailleurs que, désignant les angles des coordonnées les équations de ces traces doivent être
comparant donc respectivement ces équations aux précédentes, il viendra
et conséquemment l’équation de la sphère rapportée à des coordonnées obliques sera
(L)
Cette équation donne aussi la distance de l’origine à un point dont les coordonnées sont .
Si le centre, au lieu d’être situé à l’origine, se trouvait en un point ayant pour ses coordonnées l’équation de la sphère deviendrait
(M)
Si, dans l’équation (G), on fait
elle deviendra celle du plan tangent à la sphère qui a son centra à l’origine. Ainsi étant les coordonnées du point de contact, l’équation de ce plan tangent est
(N)
§. V. De la perpendiculaire à un plan.
Soit
(O)
l’équation d’un plan, et soient
(P)
les équations de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur ce plan. Si l’on conçoit une sphère ayant l’origine pour centre et cette perpendiculaire pour rayon, le plan (O) devra lui être tangent ; et, en désignant par les coordonnées du point de contact, les équations (N) et (O) devront coïncider, à un facteur près, pouvant affecter tous les termes de l’une d’elles. Exprimant donc que leur coïncidence a lieu, il viendra
mais, comme le point de contact doit se trouver, à la fois, sur la droite (P) et sur la sphère, on doit avoir
En éliminant entre ces équations, il viendra
En éliminant entre les trois premières équations, on obtiendra les deux suivantes
(Q)
lesquelles expriment que le plan (O) et la droite (P) sont perpendiculaires l’un à l’autre.
Si, entre toutes quatre, on élimine la longueur de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur le plan (O) se trouvera donnée par l’équation
Si le point duquel on veut abaisser une perpendiculaire sur le plan (O) a pour ses coordonnées il suffira de transporter l’origine en ce point ; ce qui reviendra à changer en respectivement, ce qui donnera, pour la nouvelle équation du plan.
et partant, pour la longueur de la perpendiculaire, celle qu’on déduirait de l’équation (R), en y changeant simplement en
L’équation
(S)
à laquelle nous sommes parvenus tout à l’heure, exprime la relation qui doit exister, dans les équations (B), entre les trois coefficiens et les angles des coordonnées.
Si l’on prend sur les axes des , des et des respectivement, trois longueurs il sera facile d’assigner le volume du parallélipipède qui aura ces trois longueurs pour arêtes. En effet, d’après la formule (R), la longueur de la perpendiculaire abaissée de l’extrémité de sur le plan des sera
mais, en considérant cette perpendiculaire comme la hauteur du parallélipipède, l’aire de sa base sera ; d’où il résulte que son volume sera
Les conditions analytiques qui expriment le parallélisme, soit de deux droites, soit de deux plans, soit d’une droite et d’un plan, étant indépendantes des angles que forment entre eux les axes des coordonnés, nous ne nous arrêterons pas à leur recherche.
§. VI. De la perpendicularité de deux plans.
Soient deux plans passant par l’origine, et ayant respectivement pour équations
(T)
(T’)
On exprimera qu’ils sont perpendiculaires l’un à l’autre si l’on exprime qu’une droite
perpendiculaire au premier, se trouve sur le second. Ainsi, par le précédent §, on aura les équations
Si l’on élimine et entre elles, disparaîtra de lui-même, et l’on obtiendra, pour condition de perpendiculaire des deux plans
(T), (T’), l’équation suivante :
(U)
§. VII. De la perpendicularité de deux droites, et de l’angle qu’elles
forment entre elles.
Soient deux droites passant par l’origine et ayant respectivement pour équations
(V)
(V’)
On exprimera qu’elles sont perpendiculaires l’une à l’autre, si l’on exprime qu’un plan
perpendiculaire à la première, contient la seconde ; ainsi, par le
§. V, on aura les équations
Si l’on élimine et entre elles, disparaîtra de lui-même ; et l’on obtiendra, pour condition de perpendicularité des deux droites (V), (V’) ; l’équation suivante
(X)
Généralement, on peut trouver le cosinus de l’angle formé par les deux droites
car, en joignant les extrémités des distances par une droite, et appelant l’angle cherché, la longueur de cette droite aura d’un côté pour expression
et de l’autre, par le §. IV,
ou, en substituant,
égalant donc cette expression à la première, et exprimant que leur égalité laisse indéterminés et indépendans, on obtiendra d’abord les deux relations déjà connues
et ensuite la formule
(Y)
Au moyen de cette formule il sera facile de déterminer, soit le sinus de l’angle de deux droites, soit les sinus et cosinus de l’angle de deux plans, ou de l’angle d’une droite et d’un plan.
§. VIII. Recherche des diamètres principaux dans les surfaces
du seconde ordre, rapportées à des axes quelconques.
Reprenons l’équation générale des surfaces du second ordre
(1)
Nous avons déjà dit que, pour passer du système des coordonnées
au système des coordonnées de même origine
que celui-là, il fallait poser
(2)
et qu’alors les équations des axes des rapportés au
système primitif, étaient respectivement
Si l’on substitue les valeurs (2) dans l’équation (1), on obtiendra
une transformée, du même degré en que l’on pourra ensuite simplifier, en disposant des quantités arbitraires qui déterminent les directions des nouveaux axes.
Faisant donc disparaître, tous les rectangles des coordonnées, nous
aurons les équations
Cela posé, en éliminant entre les équations (3) et l’équation (7), on tombera sur l’équation d’un plan
(9)
tel que, l’axe des y étant situé, d’une manière quelconque,
l’équation de la surface du second ordre se trouvera délivrée du terme
en Pareillement si, entre les équations (4) et
(6), on élimine on obtiendra l’équation d’un plan tel que, l’axe des y étant situé, d’une manière quelconque, l’équation de cette surface
se trouvera délivrée du terme en Mais, par la forme des
équations (3), (4), (6), (7), ces deux plans doivent se confondre ;
donc, en écrivant seulement les équations (6), (7), on aura, pour
un axe quelconque des un plan unique des tel que l’équation
transformée, en se trouvera privée, à la fois, des
rectangles ; et, comme il est toujours facile, l’axe des
étant constant, ainsi que le plan des de donner aux axes
des et des des directions telles que le troisième rectangle disparaisse aussi ; il s’ensuit qu’il y a une infinité de systèmes d’axes
transformés pour lesquels l’équation générale des surfaces du second
ordre prend la forme plus simple
(10)
Parmi tous les systèmes d’axes pour lesquels l’équation prend
cette forme, il n’en est généralement qu’un seul qui soit rectangulaire. En effet, assujétissons la droite (5) à être perpendiculaire
au plan (9) ; en employant les équations (Q) du §. V, nous
trouverons
Si l’on procède à l’élimination de entre ces deux équations,
on parviendra, en définitif, à deux équations de la forme
(12)
dans lesquelles renfermeront mais où ne seront fonctions que de et des coefficiens de
l’équation (1).
Or, comme toute équation du troisième degré a toujours au moins
une racine réelle, il s’ensuit qu’il existe, pour toutes les surfaces
du second ordre, un axe des , perpendiculaire à un plan des
de manière que l’équation générale de ces surfaces ne renferme
plus les rectangles ; et, comme on peut toujours chasser
le rectangle qui reste encore dans l’équation, on en conclut
que, non seulement on trouve un axe des perpendiculaire au
plan des qui prive la nouvelle équation des rectangles mais encore qu’il existe un axe des perpendiculaire au
plan des et un axe des perpendiculaire au plan des jouissant des mêmes propriétés. Or, si l’on écrit que l’axe (4) des
est perpendiculaire au plan
qui contient les axes des et on parviendra aux mêmes équations (11), en y changeant en ; d’où il suit que les équations (11) déterminent
et en même temps
que ; on prouvera de même que le troisième système de
racines, tiré des équations (12), est .
Il résulte de ce qui précède que, dans le cas où les axes qui doivent
priver l’équation de la surface des trois rectangles doivent être rectangulaires, leur direction est absolument déterminée
et unique, et qu’alors les coefficiens de l’équation (10) sont réels
et déterminés.
Il reste présentement à faire connaître, pour les surfaces du
second ordre qui ont un centre, l’équation qui détermine les grandeurs des diamètres principaux. La chose se réduit à calculer les
coefficiens de l’équation (10). À cet effet, écrivons les résultats des substitutions des valeurs (2) dans l’équation (1), en ayant égard aux équations (6), (7), (8) ; nous trouverons
et partant
(13)
si donc on élimine des équations (11), (13) et de l’équation de relation formée d’après l’équation (S) du §. V, on trouvera l’équation qui doit déterminer ; mais, comme ces équations, ont lieu, de la même manière, en changeant en ou en il s’ensuit que sont donnés par une même équation du troisième degré.
Il s’agit donc actuellement d’effectuer le calcul qui vient d’être indiqué ; mais auparavant débarrassons des accens qui les affectent dans les équations (11) et (13), et joignons-y l’équation
(S), ce qui donnera
Posons ensuite
(18)
les trois premières deviendront alors
Si l’on chasse successivement de ces équations deux des trois quantités en ayant égard à l’équation (17), il viendra
(20)
et, en comparant aux équations (18).
(21)
Éliminant et entre ces équations, disparaîtra de lui-même, et il viendra
ou, en développant et ordonnant
(22)
et les quantités seront déterminées par les équations
(23)
Si l’on joint à ces deux équations l’équation (17), on aura tout ce qu’il faut pour déterminer ; et partant, on pourra calculer, dans l’équation (10), les coefficiens
Il est maintenant facile de conclure des équations précédentes, quelles modifications il faut y apporter, pour qu’elles fassent connaître les grandeurs des diamètres principaux, dans les surfaces du second ordre qui ont un centre. On sait en effet que, pour ces surfaces, si l’on transporte l’origine des coordonnées au centre, les termes affectés des premières puissances de disparaissent de son équation. Ainsi, l’équation (1), après y avoir fait disparaître les premières puissances de deviendra
d’où il suit que l’équation (10) prendra la forme
Représentant donc par le quarré d’un demi-diamètre principal, on aura d’où ; substituant cette valeur de dans les équations (22) et (23), on trouvera les équations qui déterminent la situation et la grandeur des diamètres principaux. On doit observer, au surplus, que l’équation qui a pour racines les trois valeurs de a nécessairement ses racines réelles, comme nous l’avons déjà démontré, en faisant voir que sont des quantités réelles. Nous discuterons ici quatre cas différens des surfaces du second ordre.
Premier cas. Si l’équation (22) n’a aucune racine nulle, on
pourra toujours faire disparaître les premières puissances de , dans l’équation (1), et par conséquent réduire l’équation (10) à la forme
donc 1.o on aura l’ellipsoïde, un point ou une surface imaginaire ; lorsque les racines de l’équation (22) seront toutes de même signe.
2.o On obtiendra les hyperboloïdes à une ou à deux nappes, ou une surface conique, lorsque les racines de l’équation (21) ne
seront pas toutes de mêmes signes.
Deuxième cas. Supposons que l’équation (22) ait une seule racine
nulle ; l’équation (10) prend alors la forme
donc 1.o on aura le paraboloïde elliptique, ou une surface imaginaire, lorsque les deux racines de l’équation (22) seront de même
signe, sans que soit zéro.
2.o On aura le paraboloïde hyperbolique ou le système de deux
plans, lorsque les deux seules racines effectives de l’équation (22)
seront de signes contraires.
3.o Dans le cas particulier ou quels que soient d’ailleurs
les signes des deux racines effectives de l’équation (22), la surface
est un cylindre ; or, comme l’équation est satisfaite, lorsqu’en particulier on a il s’ensuit que
l’équation
suffit pour exprimer que la surface représentée par l’équation
est cylindrique. Il est remarquable que cette équation de condition
est indépendante de
Troisième cas. Si deux des racines de l’équation (22) sont nulles,
l’équation (10) prendra la forme
elle représente une surface cylindrique, deux plans parallèles ou une surface imaginaire.
Quatrième cas. Supposons 1.o que la surface (1) soit sphérique ; il y a alors une infinité de systèmes de diamètres principaux ; et, comme les équations d’un diamètre principal sont
il s’ensuit que seront quelconques. Exprimant donc que les équations (21) laissent indéterminés, on aura
2.o Supposons que la surface soit simplement de révolution autour de l’un des axes, alors les équations (21) devront être les mêmes à un facteur près ; d’où l’on déduira les équations
(24)
on trouvera la racine commune à ces équations par la théorie du plus grand commun diviseur. Égalant ensuite les valeurs de on aura deux équations de condition, qui exprimeront, si elles ont lieu, que la surface proposée du second ordre est de révolution autour d’un axe.
On obtient aussi l’équation du plan qui coupe la surface de résolution suivant un cercle, en éliminant entre les équations (3) et l’une des équations (21) ; on a pour résultat
(25)
Pour donner un exemple de cette théorie, supposons
un angle droit ;
les équations (24) et (25) deviendront
égalant les valeurs de deux à deux, on obtiendra les équations
(26)
dont deux comportent la troisième. Elles expriment que l’équation (1)
appartient à une surface de révolution. L’équation (22) devient, en
vertu des équations (26)
Il nous resterait à examiner ce qui arrive dans ces résultats, lorsque
un, deux ou trois rectangles des coordonnées manquent dans l’équation (1) ; mais nous renvoyons, pour cet objet, à notre mémoire qui
traite de ces mêmes équations (page 144 ; du 2.e volume des Annales de Mathématiques.)
On peut déduire des théories précédentes d’autres conséquences
très-importantes ; ainsi, par exemple, on démontre très-facilement,
au moyen de l’équation (22), trois théorèmes principaux sur les
surfaces du second ordre (voyez, pour cet objet, un mémoire de
M. Bérard, page 105 du 3.e volume des Annales de Mathématiques).
Nous discuterons seulement le cas particulier où les surfaces du second
ordre dégénèrent en deux plans parallèles, et également distans de
l’origine des coordonnées. L’équation
prend alors la forme
et l’équation en devient
Cette équation donne la longueur d’une perpendiculaire abaissée de
l’origine des coordonnées sur le plan
et elle coïncide parfaitement avec l’équation (R) du §. V.
Nous terminerons, sur cette théorie, en observant que la méthode
que nous avons employée, pour les surfaces du second ordre, est
exactement applicable aux lignes du même ordre, rapportées à un
système primitif quelconque de coordonnées. Mais on peut, pour
ces lignes, obtenir de suite l’équation qui détermine les quarrés des
demi-diamètres principaux. En effet, soit posée l’équation
et soit celle d’un diamètre de la courbe. Si l’on cherche
l’intersection du diamètre avec la courbe, puis la distance, de
l’origine à ce point d’intersection, en se rappelant la formule
on aura l’équation
ou
qui sera telle qu’en donnant une valeur à il en résultera deux
valeurs correspondantes pour ; c’est-à-dire, que, généralement,
il existe toujours deux diamètres de même longueur qui ont des directions différentes. Si maintenant on suppose que désigne la longueur d’un demi-diamètre principal, alors les deux diamètres égaux
qui répondront à cette hypothèse se confondront en un seul ; les
valeurs correspondantes de devront donc être égales. Écrivant donc la condition d’égalité des racines de l’équation en on trouvera que les quarrés des longueurs des demi-diamètres principaux sont déterminés par l’équation
De semblables considérations pourraient être appliquées à la recherche des longueurs des diamètres principaux, dans les surfaces du second ordre qui ont un centre.
Généralement, on peut parvenir aux équations qui déterminent les diamètres principaux, soit dans les lignes soit dans les surfaces du second ordre, en partant d’une propriété quelconque qui ne puisse convenir qu’à eux seuls ; ainsi la propriété des maximis et minimis
dont ils jouissent exclusivement se prête très-aisément à cet usage, et c’est d’elle, en effet, que M. Bérard est parti, pour parvenir aux formules dont la recherche a fait le sujet du présent mémoire et de l’autre que nous avons déjà rappelé. Mais, nous ferons à ce sujet la remarque que voici : c’est que, comme on ne démontre les propriétés des lignes et surfaces du second ordre, relatives à leurs diamètres principaux, qu’après avoir ramené leurs équations aux formes respectives
il s’ensuit qu’on ne peut employer ces propriétés, dans la recherche de qu’après avoir démontré, a priori, que ces équations donnent toutes les lignes et surfaces de cet ordre qui ont un centre. Les démonstrations des mêmes formules, par MM. Monge et Hachette, qui se trouvent dans la Correspondance sur l’école-polytechnique (2.e vol., n.o 5, janvier 1812), sont aussi sujettes aux mêmes inconvéniens. Il me paraît donc plus convenable et plus direct d’établir d’abord, par la transformation des coordonnées, les équations qui font connaître la situation et la grandeur des demi-diamètres principaux ; et c’est ce que j’ai cherché à faire, dans ce mémoire, de la manière la plus simple, et en même temps la plus générale.