QUESTIONS RÉSOLUES.
Démonstrations du théorème de géométrie énoncé à la
page 59 de ce volume ;
Par MM.
Massabieau et
Guillaume, professeurs de
mathématiques au lycée de Rodez,
Gobert, élève du
lycée d’Angers, et M.
Bérard, principal et professeur
de mathématiques au collège de Briançon.
[1]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Énoncé.
étant deux points quelconques d’une paralole,
le point de concours des tangentes en ces points, et
le foyer ; on propose de démontrer que
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {\overline {M'O}} }{\mathrm {\overline {M'F}} }}={\frac {\mathrm {\overline {M''O}} }{\mathrm {\overline {M''F}} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72274ae593cb3444d3191fd926efa55c728cab39)
d’où il suit que, si
tombe sur
le sommet de l’angle
qui devient droit, est placé sur la directrice, et la ligne
est perpendiculaire sur la corde ![{\displaystyle \mathrm {M'M''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42915520f29a638b15ab03949a273622626bb031)
Les solutions fournies par MM. Massabieau, Guillaume et Gobert sont purement analitiques, et reviennent à peu près à ce qui suit.
Soit
![{\displaystyle y^{2}=4cx,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa8fea839842eda533c502d324b4baba70a0fc3)
(1)
l’équation de la parabole, et soient les coordonnées des points
et
ainsi qu’il suit
![{\displaystyle {\text{pour M'}}\left\{{\begin{aligned}x'&,\\y'&,\\\end{aligned}}\right.\ {\text{pour M''}}\left\{{\begin{aligned}x''&,\\y''&\,;\\\end{aligned}}\right.\ {\text{pour O}}\left\{{\begin{aligned}a&,\\b&,\\\end{aligned}}\right.\ {\text{pour F}}\left\{{\begin{aligned}c&,\\0&,\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971b648ce0fa5fef4959f5abb3bbb23b05711904)
on aura conséquemment
![{\displaystyle y'^{2}=4cx',\qquad y''^{2}=4cx''.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b022b310e7640d274b94a8a431ca7f7c728bdf)
(2)
Les équations des tangentes ; par les points
seront
![{\displaystyle yy'=2c(x+x'),\qquad yy''=2c(x+x'')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281b8899a1c62542f6f7ad00246549f9c23f171e)
(3)
et, comme le point
appartient à la fois à ces deux tangentes, on aura
![{\displaystyle by'=2c(a+x'),\qquad by''=2c(a+x'')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d3c5002b88006b4c4c1b84531eeaa3b5a3a8f5)
(4)
d’où on tire, en ayant égard aux équations (2)
![{\displaystyle a={\frac {y'y''}{4c}},\qquad b={\tfrac {1}{2}}(y'+y'').\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2d89b3318b7202760e3263f4cf97228646d1db)
(5)
Cela posé on a
![{\displaystyle \mathrm {\overline {M'O}} ^{2}=(x'-a)^{2}+(y'-b)^{2}=\left\{{\frac {y'^{2}}{4c}}-{\frac {y'y''}{4c}}\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6240e8c42267cdc9bfe1741b0852cc0e577d82)
![{\displaystyle +\left\{y'-{\tfrac {1}{2}}(y'-y'')\right\}^{2}={\frac {y'^{2}+4c^{2}}{16c^{2}}}(y'-y'')^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8ae023d5445f4e02bbc3bd9f005b0b3fdfb0a3)
ou
![{\displaystyle \mathrm {\overline {M'O}} ^{2}={\frac {x'+c}{4c}}(y'-y'')^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa2115c81fe36d3c10f6c3d4538989306aa8c6d)
et on a pareillement
![{\displaystyle \mathrm {\overline {M''O}} ^{2}={\frac {x''+c}{4c}}(y'-y'')^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c71ad1de259b93b548774709589555262fb9e8)
mais, d’un autre côté, on a aussi
![{\displaystyle \mathrm {\overline {M'F}} ^{2}=(x'-c)^{2}+y'^{2}=(x'-c)^{2}+4cx'=(x'+c)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d287e2108eeea5e62d2ea2ffd0c53c28e10171)
d’où![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {M'F} =x'+c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d0e7d5ff9d97004b0e2ef22155be2a96dfca7c)
et l’on a pareillement
![{\displaystyle \mathrm {M''F} =x''+c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f227637f9ac2a4d921aece8965926d8af387a7)
donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {\overline {M'O}} ^{2}}{\mathrm {\overline {M'F}} }}={\frac {\mathrm {\overline {M''O}} ^{2}}{\mathrm {\overline {M''F}} }}={\frac {(y'-y'')^{2}}{4c}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec50aac38d0221b69c1e2edcefd17470dfed29f2)
(6)
ce qui démontre la première partie de la proposition.
On a de plus
![{\displaystyle \mathrm {M'F} \times \mathrm {M''F} =(x'+c)(x''+c)=\left\{{\frac {y'^{2}}{4c}}+c\right\}\left\{{\frac {y''^{2}}{4c}}+c\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cbb8d0fdd4709482de5e4b9e1675d3460ef5aa)
![{\displaystyle =\left\{{\frac {y'y''}{4c}}-c\right\}+{\tfrac {1}{4}}\left\{y'+y''\right\}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5782cc74cef234019a7558ac16e8641ceb72f2e7)
ou
![{\displaystyle \mathrm {M'F} \times \mathrm {M''F} =(a-c)^{2}+b^{2}=\mathrm {\overline {OF}} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f742c2684ab906c65b1713e5c9ee0af9e0f4a49)
Éliminant successivement
et
entre cette dernière équation
et l’équation (6), et extrayant chaque fois la racine quarrée, il
viendra
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M'O} }{\mathrm {M''O} }}={\frac {\mathrm {M'F} }{\mathrm {OF} }}={\frac {\mathrm {OF} }{\mathrm {M''F} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b927aa7490944e1423077938c00547713d625496)
d’où il résulte que les deux triangles
et
sont semblables.[2]
Cela posé, si la somme des angles égaux
vaut
deux angles droits ; c’est-à-dire, si le point
est sur la corde
chacun de ces deux angles sera droit ou, en d’autres termes,
sera perpendiculaire sur
; la somme des deux angles
et
vaudra donc deux angles droits ; et, puisque le
dernier est égal à
il en résulte que l’angle
est
alors droit.
Lorsque les trois points
sont en ligne droite, on a
![{\displaystyle {\frac {y'}{x'-c}}={\frac {y''}{x''-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6e8500ae8e77745c22423dca5f5d671afc30d7)
ou
![{\displaystyle y'\left\{{\frac {y''^{2}}{4c}}-c\right\}=y''\left\{{\frac {y'^{2}}{4c}}-c\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85af6cc466bec91f5b9f6fb0c5df4375ccde2ef)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \left(y'y''+4c^{2}\right)(y'-y'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b9b4936c59cb36559023ad8ca9a1d179febc24)
ou simplement
![{\displaystyle y'y''+4c^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3652de207da9bbd6b8049d040b98787124407363)
ce qui donne
![{\displaystyle a={\frac {y'y''}{4c}}=-c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a4c1d0507383ac193e743a2256870a114ce491)
ainsi alors le point
est perpétuellement sur la directrice.
Voici présentement la démonstration de M. Bérard, qui est purement géométrique.
Par les trois points
(fig. 2) soient menées des
parallèles à l’axe ; et soit
le point où la dernière rencontre la
courbe. Par ce point
soient menées des parallèles à
et à
rencontrant respectivement en
les diamètres menés par
Le quarré d’une ordonnée au diamètre étant le produit de
l’abscisse par le quadruple de la distance du sommet de ce diamètre
au foyer ; on a
![{\displaystyle \mathrm {\overline {HP'}} ^{2}=4\mathrm {M'F} \times \mathrm {M'P'} ,\qquad \mathrm {\overline {HP''}} ^{2}=4\mathrm {M''F} \times \mathrm {M''P''} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adffbfbe4809a5beaa705ea6e1e1da1bc051d0e)
mais, à cause des parallélogrammes
![{\displaystyle \mathrm {OP',OP''} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a5717b80db01dc728edb6943a96f8fd58e616d)
, on a
![{\displaystyle \mathrm {M'P'=M''P''=OH,\qquad HP'=OM',\qquad HP''=OM''\,;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a9c70689418d08f707367ac099877e1dd7d1bd)
donc
![{\displaystyle \mathrm {\overline {OM}} ^{2}=4\mathrm {FM'\times OH} ,\qquad \mathrm {\overline {OM''}} ^{2}=4\mathrm {FM''\times OH} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd89c7d041168db0548c72d858a48b4351127a7d)
ce qui donne, par l’élimination de ![{\displaystyle \mathrm {OH,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93450a30e30b8b4aa2a4ad2b94dd5db976ae3f2b)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {\overline {OM'}} ^{2}}{\mathrm {\overline {FM'}} }}={\frac {\mathrm {\overline {OM''}} ^{2}}{\mathrm {\overline {FM''}} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37e26a905bd7657beea55faa201d2b7aeaf16e9)
Si le point
est en ligne droite avec les points
(fig. 3),
cette équation n’exprimera autre chose que la proportionnalité des
quarrés des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle avec leurs
projections sur l’hypothénuse ; le triangle
sera donc rectangle
en
et
sera perpendiculaire sur
Soit, dans ce cas, prolongée
jusqu’à la rencontre de
en
et soit menée
On sait que, par la propriété de la parabole le point
est le milieu de
; puis donc que l’angle
est droit, ce point
est le centre du cercle circonscrit au triangle
et par conséquent
; et puisque
est parallèle à
l’axe, le point
est un point de la directrice.