QUESTIONS RÉSOLUES.
Démonstrations du théorème de géométrie énoncé à la
page 59 de ce volume ;
Par MM.
Massabieau et
Guillaume, professeurs de
mathématiques au lycée de Rodez,
Gobert, élève du
lycée d’Angers, et M.
Bérard, principal et professeur
de mathématiques au collège de Briançon.
[1]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Énoncé. étant deux points quelconques d’une paralole, le point de concours des tangentes en ces points, et le foyer ; on propose de démontrer que
d’où il suit que, si tombe sur le sommet de l’angle qui devient droit, est placé sur la directrice, et la ligne est perpendiculaire sur la corde
Les solutions fournies par MM. Massabieau, Guillaume et Gobert sont purement analitiques, et reviennent à peu près à ce qui suit.
Soit
(1)
l’équation de la parabole, et soient les coordonnées des points et ainsi qu’il suit
on aura conséquemment
(2)
Les équations des tangentes ; par les points seront
(3)
et, comme le point appartient à la fois à ces deux tangentes, on aura
(4)
d’où on tire, en ayant égard aux équations (2)
(5)
Cela posé on a
ou
et on a pareillement
mais, d’un autre côté, on a aussi
d’où
et l’on a pareillement
donc
(6)
ce qui démontre la première partie de la proposition.
On a de plus
ou
Éliminant successivement et entre cette dernière équation
et l’équation (6), et extrayant chaque fois la racine quarrée, il
viendra
d’où il résulte que les deux triangles et
sont semblables.[2]
Cela posé, si la somme des angles égaux vaut
deux angles droits ; c’est-à-dire, si le point est sur la corde
chacun de ces deux angles sera droit ou, en d’autres termes,
sera perpendiculaire sur ; la somme des deux angles
et vaudra donc deux angles droits ; et, puisque le
dernier est égal à il en résulte que l’angle est
alors droit.
Lorsque les trois points sont en ligne droite, on a
ou
ou
ou simplement
ce qui donne
ainsi alors le point est perpétuellement sur la directrice.
Voici présentement la démonstration de M. Bérard, qui est purement géométrique.
Par les trois points (fig. 2) soient menées des
parallèles à l’axe ; et soit le point où la dernière rencontre la
courbe. Par ce point soient menées des parallèles à et à rencontrant respectivement en les diamètres menés par Le quarré d’une ordonnée au diamètre étant le produit de
l’abscisse par le quadruple de la distance du sommet de ce diamètre
au foyer ; on a
mais, à cause des parallélogrammes
, on a
donc
ce qui donne, par l’élimination de
Si le point est en ligne droite avec les points (fig. 3),
cette équation n’exprimera autre chose que la proportionnalité des
quarrés des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle avec leurs
projections sur l’hypothénuse ; le triangle sera donc rectangle
en et sera perpendiculaire sur
Soit, dans ce cas, prolongée jusqu’à la rencontre de en et soit menée On sait que, par la propriété de la parabole le point est le milieu de ; puis donc que l’angle est droit, ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle
et par conséquent ; et puisque est parallèle à
l’axe, le point est un point de la directrice.