Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Géométrie des courbes, article 6
ce volume ;
ÉNONCÉ. et sont deux demi-diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole. On a mené la droite ; et, par un point quelconque de la courbe, on a mené à cette droite une parallèle coupant respectivement et en et On propose de démontrer que, quelle que soit la situation du point sur la courbe, la quantité est constante.
Démonstration[1]. Soit menée ordonnée au diamètre
et conséquemment parallèle à et soient
Les triangles semblables donnent
donc
D’un autre côté, les triangles semblables donnent
d’où il suit que
donc
mais, dans l’ellipse et dans l’hyperbole, on a respectivement
donc, dans les deux courbes, on doit avoir respectivement
- ↑ On sous-entend la figure qu’il est très-facile de suppléer.
- ↑ Si l’on désigne par l’autre point d’intersection de avec la courbe, on aura pareillement
d’où
d’où, en développant, on conclura,
Cette dernière proposition, et conséquemment la première qui peut en être aisément déduite, se démontre facilement pour l’ellipse, en recourant à sa projection circulaire, dans laquelle les projections des deux diamètres conjugués sont deux diamètres perpendiculaires l’un à l’autre. Ceci peut donc former un petit supplément au mémoire de M. Ferniot, inséré à la page 240 du 2.e volume de ce recueil.
J. D. G.