Solution d’un cas particulier du problème de dynamique
proposé à la page 72 de ce volume ;
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Problème. Déterminer le mouvement du centre de gravité d’un corps solide posé sur un plan horizontal et terminé inférieurement par une courbe donnée, dans le cas où le plan qui passe par l’axe du corps partage ce corps en deux parties égales et symétriques[1] ?
Solution. Soient (fig. 2.) la section du plan vertical avec
le corps ;
cette section dans la position d’équilibre ; position
où l’axe , qui est alors , est supposé vertical ; deux axes rectangulaires, pris dans le plan de la section ,
tels que représente la projection du plan horizontal ; le centre
de gravité du corps ; le point de contact de la section
avec le plan horizontal. Soient de plus deux axes rectangulaires, auxquels nous rapportons l’équation de la section ;
la masse du corps, la gravité, à la hauteur du centre de
gravité au-dessus du plan horizontal, dans sa position d’équilibre ; deux droites quelconques rectangulaires entre elles.
Soient enfin menés ainsi que la droite perpendiculaire
sur Soient faits
La force dirigée suivant la verticale se décompose,
à cause de la résistance du plan horizontal, en deux autres, l’une
dirigée suivant et l’autre dirigée suivant perpendiculaire
à de sorte que sera la force décomposée suivant
Mais cette dernière force, que nous pouvons représenter par
la partie du prolongement de se décompose, à son tour,
suivant perpendiculaire à et dirigée suivant
ainsi, en achevant le parallélogramme on aura
Le centre de gravité du corps sera donc mue en vertu de la force unique
La seconde des équations (1) (Annales, tom. VIII, pag. 39) devient ainsi
ou bien
(1)
Soit maintenant l’équation de la courbe rapportée
aux axes Si on désigne généralement par l’abscisse
du point on aura évidemment
mais comme, au moyen de la formule trigonométrique qui donne la tangente de la différence de deux arcs en fonction des tangentes
de chacun d’eux, on a
il viendra, en vertu des valeurs de et
Désignons, pour abréger, cette dernière fonction de par et faisons
Si désigne l’abscisse qui répond au point sera une petite quantité, dans l’hypothèse où le corps a été très-peu écarté de sa position d’équilibre ; de sorte que, si l’on développe
la fonction suivant les puissances ascendantes de au
moyen du Théorème de Taylor ; l’équation du mouvement deviendra,
en employant les fonctions prime, seconde, tierce, … de la
Théorie des fonctions analitiques,
(2)
Cela posé, de la valeur de on tirera celle de ; et,
comme d’ailleurs
il viendra, toutes réductions faites,
Si l’on désigne, pour abréger, le second membre de cette équation
par on aura, à cause de
ou bien simplement
parce que est zéro en même temps que on aura donc, par le retour des suites,
substituant cette expression de dans l’équation (2), prenant et négativement, comme l’indique la figure, et ne retenant que la
première puissance de il viendra
Cette équation se simplifie en prenant l’axe du corps pour
axe des En effet, dans ce cas
d’où
et par conséquent
équation dont l’intégrale est
et étant deux constantes arbitraires.
Si maintenant on différentie les fonctions
et on trouvera
Supposons maintenant que la courbe soit une des sections
coniques, renfermées dans l’équation
(3)
l’origine des abscisses étant située au sommet de la courbe. Si l’on
transporte celle origine à une distance du sommet, et que l’on
prenne pour positives celles qui se dirigent vers le sommet, on
aura de sorte que si, après avoir substitué cette
valeur de dans l’équation (3), on efface l’accent de la nouvelle
abscisse et que l’on fasse, pour abréger
il viendra
D’après les valeurs de
et rapportées ci-dessus, ou trouvera,
en observant toujours que
, et en faisant les réductions convenables
Ainsi, en supposant qu’il n’y ait point de vitesse initiale, on aura
valeur fort simple qui fait voir 1.o que le mouvement est indépendant de la grandeur du corps et de son poids ; 2.o que l’équilibre
sera stable ou non stable, suivant que sera plus petit ou plus
grand que ou, en d’autres termes, que l’équilibre sera stable
ou non stable, suivant que la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan horizontal sera plus petite ou plus grande que le
rayon de courbure au sommet de la courbe, et que le mouvement sera nul, lorsque la hauteur du centre de gravité sera égalé au
rayon de courbure. Quant à cette dernière condition, il est facile
de s’en assurer, par l’inspection seule de la figure, et par la valeur
connue du rayon de courbure des lignes du second ordre[2].
On conclut encore de la valeur de ce théorème que les petits
mouvemens seront les mêmes pour tous les corps dont la section
est une des lignes du second ordre qui ont le même paramètre ; puisque la valeur de est indépendante de
Si l’on désigne par le temps d’une oscillation entière, représentant toujours, comme à l’ordinaire, le rapport du rayon à la
demi-circonférence, on aura
et par conséquent
d’où l’on voit que le temps d’une oscillation entière est le plus
petit possible lorsque et va toujours en augmentant, jusqu’à où il est le plus grand possible ; c’est-à-dire qu’alors
le mouvement est nul.
On aura la position du centre de gravité moyennant les coordonnées et or, étant égal à sera connu ; quant
à il est facile de voir que l’on a
et, comme nous avons en fonction linéaire de tout sera
connu dans cette dernière expression.