GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Essai sur les tangentes aux courbes planes ;
Par
M. Bret, professeur à la faculté des sciences de Grenoble.
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On sait que la méthode imaginée par Roberval, pour mener des
tangentes aux courbes, est fondée sur les lois du mouvement d’un
point générateur. Nous nous proposons, dans cet essai, de déduire
ces mêmes constructions de l’analise, et de les généraliser.
Soit
l’équation, en coordonnées rectangulaires d’une courbe plane donnée
quelconque ; si et sont les coordonnées d’un point déterminé de
cette courbe, on aura
les équations de la corde qui joindra ce point au point seront
(A)
on aura donc l’équation
en développant et remplaçant simplement, pour abréger,
par elle deviendra
en observant que elle se réduit à
Cela posé, nous exprimerons que cette droite est tangente, en
posant ce qui donnera l’équation de condition
laquelle exprime conséquemment que la corde est tangente à la courbe.
Éliminant donc et entre cette dernière et les équations
nous aurons finalement pour l’équation de la tangente
dans laquelle et sont les coordonnées du point de contact,
tandis que et sont les coordonnées courantes.
En conséquence, l’équation d’une perpendiculaire à la tangente par le point () sera
donc, si l’on fait
étant quelconque ; ces équations représenteront les coordonnées
des différens points de la normale, ce qui donne lieu à la construction suivante :
Au point on mènera des parallèles respectives aux axes
rectangulaires ; et on portera sur ces parallèles, à partir de ce
point, des parties proportionnelles à
et achevant enfin le
rectangle de ces parties, la diagonale qui dans ce rectangle joindra
le sommet au sommet opposé sera la normale à la courbe.
Soit présentement un point fixe quelconque soit la
distance variable de ce point au point la courbe pourra être exprimée par une équation de relation entre et équation que
nous supposerons être
On aura donc
de sorte que l’équation de la courbe, en coordonnées rectangulaires sera
on aura donc, pour les équations de la normale,
Mais, en remplaçant simplement, pour abréger,
par on trouve
et, comme on a d’ailleurs
il viendra
de plus, on sait que
sont les cosinus respectifs des angles que fait le rayon vecteur avec les axes des et des : de sorte qu’en représentant ces cosinus par et les équations de la normale deviendront
d’où l’on déduira la construction suivante :
Soit porté sur le rayon vecteur et sur la coordonnée à
partir du point des longueurs respectivement proportionnelles à
et en construisant un parallélogramme sur ces longueurs,
la diagonale qui joindra le sommet de ce parallélogramme
au sommet opposé sera normale à la courbe.
On conçoit qu’on obtiendrait une construction semblable, en partant
de l’équation
Soient enfin deux points fixes quelconques et soient les distances respectives de ces deux points à un point
de la courbe ; cette courbe pourra être exprimée par une équation
de relation entre et équation que nous supposerons être
On aura de plus
de sorte que l’équation en coordonnées rectangulaires sera
Mais, en remplaçant simplement, pour abréger,
par on trouve
On a d’ailleurs, en désignant par les cosinus des angles que font les direction avee les axes des et des
on aura donc
au moyen de quoi les équations de la normale seront
d’où on déduira la construction suivante :
Soient portées sur et à partir du point des
longueurs respectivement proportionnelles à
et en construisant un parallélogramme sur ces longueurs, la diagonale qui
joindra le sommet de ce parallélogramme au sommet opposé
sera normale à la courbe.
En appliquant ces constructions aux sections coniques, il en
résulte diverses méthodes pour mener des tangentes à ces courbes.
On sait d’abord qu’en rapportant une section conique à l’un de
ses foyers et une parallèle à sa directrice, son équation prend la forme
ce qui donne
d’où l’on voit qu’en prenant respectivement sur et des parties proportionnelles aux grandeurs
constantes et et achevant le parallélogramme, sa diagonale
sera la normale à la courbe.
Comme, en particulier, on a pour la parabole il s’ensuit que, pour cette courbe, la normale divise en deux parties
égales l’angle des coordonnées et
En second lieu, on sait qu’en rapportant l’ellipse et l’hyperbole
à leurs foyers, on a pour leur équation
ce qui donne
d’où l’on déduit la construction,
très-connue, des géomètres grecs, et qui prouve que, soit la
tangente, soit la normale, divise en deux parties égales l’angle des
rayons vecteurs.
Dans un second article, nous étendrons ces méthodes à la construction des plans tangens aux surfaces courbes et des tangentes
aux courbes à double courbure.