GÉOMETRIE TRANSCENDANTE.
De la Loxodromie, sur une surface de révolution,
et, en particulier, sur un sphéroïde elliptique ;
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
On a appelé Loxodromie[1] la courbe qui coupe tous les méridiens
d’une surface quelconque de révolution sous un même angle donné.
Le problème de la recherche de cette courbe est, comme l’on voit,
un cas particulier du problème général des trajectoires aux fonctions
égales. Je vais d’abord le traiter pour une surface de révolution
quelconque : je considérerai ensuite, en particulier, le cas où cette
surface est celle d’un sphéroïde elliptique.
I. En supposant les coordonnées rectangulaires, et prenant l’axe
des
pour axe de révolution, toutes les surfaces de révolution
peuvent être comprises dans l’équation générale
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=f(z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2d93ac3fb27cbdcc18f329fe759e4b66dfa430)
désignant une fonction quelconque, dont la forme caractérise
dans chaque cas particulier, la surface dont il s’agit.
Considérons, en particulier, sur cette surface, un point
nous aurons d’abord, pour ce point,
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}=f(z')\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a302fa2f81cee0a722d8f5fe00f2c9e7d57b38d5)
(1)
Nous aurons ensuite, en différentiant,
![{\displaystyle 2x'={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}},\quad (2)\quad 2y'={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}\,;\quad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41a4071e9aad7863e73d4b05dd53e888802e23a)
en conséquence, l’équation du plan tangent an ce point sera
![{\displaystyle (z-z'){\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}=2x'(x-x')+2y'(y-y')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4249446649c0f31bf134fafb6c3a49b2b93e9018)
(4)
mais l’équation du plan du méridien, pour ce même point, est
![{\displaystyle x'(x-x')=y'(y-y')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546030d9cee8349f6dacb45007f2432eb94e149f)
(5)
le système de ces deux équations appartient donc à la tangente au
méridien au point
de sorte qu’en éliminant successivement entre elles
et
on pourra prendre pour les
équations de cette tangente
![{\displaystyle 2\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(x-x')=x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e244c14b25de0558821ad00d69272926f2e21c)
![{\displaystyle 2\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(y-y')=y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3167d29c2d08257e5d7fb0f1f5a598b9a9a2d955)
ou encore, en vertu de l’équation (1)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}2(x-x')f(z')=x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),&\\\\2(y-y')f(z')=y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z').&\\\end{aligned}}\right\}(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a41f7752def8b7f4c4342263edc38d0da26c41)
Supposons présentement que le point
soit un de ceux
de la trajectoire cherchée ; les équations de la tangente à cette trajectoire en ce point seront de la forme
![{\displaystyle x-x'={\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),\qquad y-y'={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}(z-z')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3cc4c4871372a1a3491176503829f1bf09fdd3)
(7)
les deux coefficiens différentiels
devant être déterminés
par ces conditions, 1.o que cette tangente soit sur le plan tangent (4) ; 2.o qu’elle fasse avec l’autre tangente (6) un angle constant
que nous représenterons par ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Pour exprimer que la première de ces deux conditions est satisfaite, il ne s’agit que d’admettre que les équations (4, 7) ont
lieu en même temps ; ce qui donne, par l’élimination de
et
et la division par
![{\displaystyle 2x'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+2y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067204b3bfed9113efbc9af64d74f52c916a66a8)
(8)
équation qui n’est, au surplus, que la différentielle de l’équation (1)
prise par rapport à ![{\displaystyle z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271232b18e8cc4c6391cfd51b4de388fc698459a)
Quant à la seconde condition, elle se déduit de l’inspection des
équations (4, 7) et de la formule connue qui donne le cosinus de l’angle de deux droites. On obtient ainsi
![{\displaystyle {\frac {2f(z')+x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\left\{4[f(z')]^{2}+x'^{2}\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}+y'^{2}\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}\right\}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0d19cdb61df726ea00a197388d78764076051f)
![{\displaystyle =\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3a7914d4e7a0b0069d1a950b2f80ffb54af7a4)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {2f(z')+\left(x'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\left\{4[f(z')]^{2}+\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}\right\}}}}=\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8366cb193a60daaad3281b3370ace5460df82a53)
ou bien, en vertu des équations (1, 8)
![{\displaystyle {\frac {4f(z')+\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}}{2{\sqrt {f(z')\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\left\{4f(z')+\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}\right\}}}}}=\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c2be9b7b277f2c7f2a9bec86a7c57cee9fa227)
ou, en réduisant et multipliant par ![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {4f(z')+\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}}{f(z')\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}}}}=2\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29367cb7ce7711bf4e478f782011d779de9ebd41)
ou enfin, en quarrant et chassant le dénominateur
![{\displaystyle 4f(z')+\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}=4f(z').\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d147311ad2a5bdbbb5512fd476a5a76e04ab6922)
(9)
La trajectoire cherchée sera donc déterminée par cette dernière
équation, jointe aux équations (1, 8).
Mais présentement, que les coordonnées courantes ont totalement
disparu, nous pouvons nous délivrer des accens ; en remplaçant en
outre par
le coefficient différentiel
nous aurons finalement, pour les équations du problème
![{\displaystyle {\begin{array}{cr}x^{2}+y^{2}A=f(z),&(\mathrm {I} )\\2x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+2y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}=f'(z),&(\mathrm {II} )\\4f(z).\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +\left[f'(z)\right]^{2}=4f(z).\left\{\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}\right)^{2}\right\}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .&(\mathrm {III} )\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685848417104a1ff250e650a8bdf1261dd556e39)
La trajectoire cherchée devant être sur la surface de révolution
qui est supposée connue, cette trajectoire se trouvera tout-à-fait
déterminée, si l’on connaît seulement sa projection sur le plan des
On en obtiendra l’équation différentielle en éliminant
et
entre
les trois équations ci-dessus, L’élimination de
entre les deux
dernières donne
![{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\left\{\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}\right)[f'(z)]^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -4(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c51612467082accfbd6b0f2f60ff245d2570ab)
![{\displaystyle =(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)^{2}[f'(z)]^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db66b952ec0f73dd97a76abbfca8538ba0794422)
(IV)
mais il est impossible d’éliminer
tant qu’on n’a pas statué
sur la nature de la fonction
du moins en se bornant à des
équations du premier ordre.
Il est facile de pressentir que cette équation doit se simplifier en
passant aux coordonnées polaires. Soient donc
le rayon vecteur,
et
son inclinaison sur l’axe des
nous aurons
![{\displaystyle x=r\operatorname {Cos} .t,\qquad y=r\operatorname {Sin} .t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e4fc99ddd94ce26ffcc24467cc0ab9ba7f451e)
d’où nous conclurons successivement
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b89b48ee74a19a6a664ae575f3bbf4fef7ea9d)
![{\displaystyle \operatorname {d} x=\operatorname {d} r\operatorname {Cos} .t-r\operatorname {d} t\operatorname {Sin} .t,\qquad \operatorname {d} y=\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .t+r\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8483aa6deb6967c8ede20096764283aa4803d0)
![{\displaystyle \operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}=\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} t^{2},\qquad (x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)^{2}=r^{2}\operatorname {d} r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7548fcd7f0c8b31f22d323b40f0dcc17d462b3b6)
substituant donc dans l’équation (IV), elle deviendra, toutes réductions faites,
![{\displaystyle r\operatorname {d} t.f'(z)=\operatorname {d} r.\operatorname {Tang} .\alpha .{\sqrt {4r^{2}+[f'(z)]^{2}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589cfda9064ec94a6a39a67afecc7b34e41cd37e)
(V)
et l’équation polaire de la courbe sera le résultat de l’élimination
de
entre cette équation et l’équation
![{\displaystyle r^{2}=f(z).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796b1389e3c5360449392a704d9f4321331cc37c)
(VI)
Sortons présentement de ces généralités, et supposons que la surface de révolution dont il s’agit est celle d’un sphéroïde elliptique,
engendré par une ellipse dont les deux diamètres principaux sont
et
dont le centre soit à l’origine et dont le diamètre
soit dans l’axe de révolution ; l’équation de ce sphéroïde sera
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-z^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3b1861f10e1d5ae50f79afe52584805c46fc23)
nous aurons donc ici
![{\displaystyle r^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}(a^{2}-z^{2})\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617ab9c94f5df4b506e0096c3fcbac8e9d4a0a26)
(VII)
donc
![{\displaystyle f(z)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}(a^{2}-z^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd7aa7386acfcd68c3475855800782972823299)
d’où
![{\displaystyle f'(z)=-2{\frac {b^{2}}{a^{2}}}z\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b554901510262c440d168d94301bd85d35bd5e74)
(VIII)
en conséquence, l’équation (V) deviendra, en réduisant
![{\displaystyle -b^{2}rz\operatorname {d} t=\operatorname {d} r.\operatorname {Tang} .\alpha {\sqrt {a^{4}r^{2}+b^{4}z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f325bf53266ca39d88d2578ef03249006d1b4f84)
quarrant et éliminant
au moyen de l’équation (VII), il viendra enfin
![{\displaystyle b^{2}r^{2}\left(b^{2}-r^{2}\right)\operatorname {d} t^{2}=\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}\right\}\operatorname {d} r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71b49280189af1648366c80a1f7d6c591ad8f20)
d’où on tire
![{\displaystyle b\operatorname {d} t\operatorname {Cot} .\alpha ={\frac {\operatorname {d} r.{\sqrt {(a^{2}-b^{2})r^{2}+b^{4}}}}{r{\sqrt {b^{2}-r^{2}}}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d402c1647b670a0f94ec7bf6f8095726161e0961)
(IX)
équation séparée, qu’il s’agit présentement d’intégrer.
Pour faire disparaître le radical du numérateur, posons d’abord
![{\displaystyle {\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}}}=rx+b^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2484fb6ed533446c8ef8f635369350fa4c783d7f)
ce qui donnera, en quarrant et réduisant
![{\displaystyle \left(a^{2}-b^{2}\right)r=rx^{2}+2b^{2}x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e34776d7555096bd4d2d1655515be01396d9768)
d’où on tirera
![{\displaystyle r={\frac {2b^{2}x}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b892f84745ce21c41b9380c1b22855c97041044e)
donc
![{\displaystyle {\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}}}=rx+b^{2}=b^{2}.{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdc1d67c50f674a0ab4615aee68b875e4990cf4)
![{\displaystyle {\sqrt {b^{2}-r^{2}}}={\frac {b{\sqrt {(a^{2}-b^{2})^{2}-2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+x^{4}}}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a5687b7951a4344ce0a2a81b3bcf7cf3910741)
![{\displaystyle \operatorname {d} r=2b^{2}.{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}}{\left[\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}\right]^{2}}}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f3f7e69234c11bab7b436ab9820b324b2a4cfc)
Substituant ces valeurs dans l’équation (IX), elle pourra être mise
alors sous la forme
![{\displaystyle 2\operatorname {d} t.\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {2x\operatorname {d} x.\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}\right\}^{2}}{x^{2}\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}\right\}{\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)-2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+x^{4}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094626748e03bd58fc3aca5f3ea4109d8f68e1cb)
posant ensuite
d’où
elle se réduira à
![{\displaystyle 2\operatorname {d} t.\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)+y\right\}^{2}\operatorname {d} y}{y\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)-y\right\}{\sqrt {\left\{y-(a+b)^{2}\right\}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/633d509662b889fd06ecd20e1034e198c3125ecd)
(X)
Pour rendre cette dernière formule rationnelle, nous poserons
![{\displaystyle {\sqrt {\left\{y-(a+b)^{2}\right\}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}}}=z\left\{y-(a-b)^{2}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ef6e11ed25acab2993e1389f06b43ba170b280)
d’où en quarrant et réduisant
![{\displaystyle y-(a+b)^{2}=z^{2}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755b5de19cd526a0b6c8f61dd1d180d21fd53da9)
ce qui donne
![{\displaystyle y={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}z^{2}}{1-z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce14b0d97120a97a4974864b2c67136c89b85b5)
donc
![{\displaystyle \left(a^{2}-b^{2}\right)+y=+2a.{\frac {(a+b)-(a-b)z^{2}}{1-z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d78a8017b0518c186dc718f891c018f1ad104fc)
![{\displaystyle \left(a^{2}-b^{2}\right)-y=-2b.{\frac {(a+b)+(a-b)z^{2}}{1-z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df423695386134b48f3eccb129ab8107cd586bff)
![{\displaystyle y-(a-b)^{2}={\frac {4ab}{1-z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3b4e7048a6dff017f5f74e5e0e4fbb6c8a4fb2)
![{\displaystyle {\sqrt {\left\{y-(a+b)^{2}\right\}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}}}=z\left\{y-(a-b)^{2}\right\}={\frac {4abz}{1-z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3789bc861a438ad52215162f8c05717490909248)
![{\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {8abz\operatorname {d} z}{\left(1-z^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836f0e8c9ba767733fc151bd41bf30c2125e0d2f)
Substituant toutes ces valeurs dans la formule (X), elle deviendra
![{\displaystyle -{\frac {b\operatorname {d} t.\operatorname {Cot} .\alpha }{2a^{2}}}={\frac {\left\{(a+b)-(a-b)z^{2}\right\}^{2}\operatorname {d} z}{(1-z^{2})^{2}\left\{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}z^{2}\right\}\left\{(a+b)+(a-b)z\right\}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c5c749fe710238041d8cdb8cb335ab45eea5da)
(XI)
formule entièrement rationnelle.
En décomposant d’abord la fraction qui compose le second membre
en trois autres, on aura
![{\displaystyle -b\operatorname {d} t.\operatorname {Cot} .\alpha =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd77d469e445a9481e23b5c2566cf5aeb275bb6)
![{\displaystyle {\frac {b\operatorname {d} z}{1-z^{2}}}-{\frac {b\left(a^{2}-b^{2}\right)\operatorname {d} z}{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}z^{2}}}+{\frac {2\left(a^{2}-b^{2}\right)\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e998b7ab3b01651e29df87ad43ec93852ea16d71)
En décomposant ultérieurement les deux premières fractions, il vient
![{\displaystyle -b\operatorname {d} t.\operatorname {\operatorname {Cot} } .\alpha ={\frac {b}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {d} z}{1+z}}+{\frac {\operatorname {d} z}{1-z}}-{\frac {(a-b)\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z}}-{\frac {(a-b)\operatorname {d} z}{(a+b)-(a-b)z}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04afddcf90d823e76fd212fa922331f17801ec02)
![{\displaystyle +{\frac {2\left(a^{2}-b^{2}\right)\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8296f8a17d09221cf08920ab261d371409fd39)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .(1+z)-\operatorname {Log} .(1-z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3ab159c6f0f9868224657b300fb5c6df0d3181)
![{\displaystyle -\operatorname {Log} .\left\{(a+b)+(a-b)z\right\}+\operatorname {Log} .\left\{(a+b)-(a-b)z\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c24c2bbfd677797e40bf639c0f20c687b40e1d5)
![{\displaystyle +{\frac {4\left(a^{2}-b^{2}\right)}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23e94f452051f6b813aa0c3cf247e873e02fe57)
ou encore
![{\displaystyle A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .{\frac {(1+z)\left\{(a+b)-(a-b)z\right\}}{(1-z)\left\{(a+b)+(a-b)z\right\}}}+{\frac {4\left(a^{2}-b^{2}\right)}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55b824d2c09d39e81190983add95c17239368be)
Présentement, pour effectuer l’intégration indiquée dans le dernier
terme, sans tomber dans les imaginaires, il est nécessaire de distinguer deux cas ; savoir : celui où le sphéroïde est alongé et celui
où il est aplati ; c’est-à-dire, celui où l’on a
et celui où
l’on a, au contraire,
I.er Cas. Sphéroïde alongé. Dans ce cas, on a
![{\displaystyle {\frac {4\left(a^{2}-b^{2}\right)}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}-{\frac {4{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} \left(z{\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right)}{1+\left(z{\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a2712be29693c7349ccae7e2c55ca4949a7860)
![{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Tang} .=z{\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2334b21c5232d721bfc2eae4f26145e50b63bb4)
en sorte que l’intégrale totale est, pour ce cas
![{\displaystyle A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .{\frac {(1+z)\left\{(a+b)-(a-b)z\right\}}{(1-z)\left\{(a+b)+(a-b)z\right\}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f40ec28ca913f8ec1272c43b019eb09a875b32)
![{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=z{\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045c00017dea1c8c616de7c7bb0709652a20fcc0)
II.me Cas. Sphéroïde aplati. Dans ce cas, on a
![{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}=-{\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870eed377c2ea7c60fe4a13b1ff71fccd821936b)
![{\displaystyle \int \left\{{\frac {\operatorname {d} z{\sqrt {b-a}}}{{\sqrt {b+a}}+z{\sqrt {b-a}}}}+{\frac {\operatorname {d} z{\sqrt {b-a}}}{{\sqrt {b+a}}-z{\sqrt {b-a}}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de57700309a5579dd0b6b6d6f1f1094c80251c0)
![{\displaystyle =-{\frac {2{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}{b}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab45edb34de7d9010fe2789733f672c470a7b7b)
![{\displaystyle \left\{\operatorname {Log} .\left({\sqrt {b+a}}+z{\sqrt {b-a}}\right)-\operatorname {Log} .\left({\sqrt {b+a}}-z{\sqrt {b-a}}\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1c23a3c6f8e621a56c256a690640fbc9cb2f0a)
![{\displaystyle =-{\frac {2{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}{b}}\operatorname {Log} .{\frac {{\sqrt {b+a}}+z{\sqrt {b-a}}}{{\sqrt {b+a}}-z{\sqrt {b-a}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bfc0820a09ed6181660396a804dde36913dd2f)
en sorte que l’intégrale totale est, pour ce cas,
![{\displaystyle A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .{\frac {(1+z)\left\{(b+a)+(b-a)z\right\}}{(1-z)\left\{(b+a)-(b-a)z\right\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e6d3a8e843d985dd20a1304fd23147561ce686)
![{\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}{b}}\operatorname {Log} .{\frac {{\sqrt {b+a}}+z{\sqrt {b-a}}}{{\sqrt {b+a}}-z{\sqrt {b-a}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e646e1ed3fa1dd8429c1a92d222137a74630c94)
III.me Cas. Sphère. Si, dans l’une ou dans l’autre formule, on
suppose
on aura le résultat qui convient à la sphère. On obtiendra ainsi
![{\displaystyle A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .{\frac {1+z}{1-z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0d946493ed8c12928067111754e1e568772c6b)
Il ne s’agit plus présentement que de repasser de
à
de
à
et de
à
On tire des relations précédemment établies
![{\displaystyle z={\sqrt {\frac {y-(a+b)^{2}}{y-(a-b)^{2}}}}={\sqrt {\frac {x^{2}-(a+b)^{2}}{x^{2}-(a-b)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720123385e77242d00089e97327a381447c13a6e)
mais on a aussi
![{\displaystyle x={\frac {\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}-b^{2}}}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2c2fb04b8ba776773014aa387e3a330fab1d91)
Substituant donc cette valeur dans celle de
elle deviendra telle
qu’elle doit être substituée dans nos formules, pour qu’elles deviennent les équations de projections de la loxodromie sur le plan de l’équateur.
La valeur de
devenant nulle lorsque
ce qui rend la valeur de
infinie et imaginaire ; il nous faut, pour éviter cet inconvénient,
reprendre en particulier le cas de la sphère. Nous avons obtenu
l’équation différentielle générale
![{\displaystyle b\operatorname {d} t.\operatorname {Cot} .\alpha ={\frac {\operatorname {d} r.{\sqrt {(a^{2}-b^{2})r^{2}+b^{4}}}}{r{\sqrt {(b^{2}-r^{2})}}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d3a4bf167475408b57b72022bb05a75ee92260)
(IX)
en y faisant de suite
elle devient, toutes réductions faites,
![{\displaystyle \operatorname {d} t.\operatorname {Cot} .\alpha ={\frac {a\operatorname {d} r}{r{\sqrt {(a^{2}-r^{2})}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bbb8a17dee5030dda50097d6b3c8f96b3a47a2)
ce qui donne en intégrant
![{\displaystyle t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .A{\frac {a-{\sqrt {a^{2}-r^{2}}}}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44d9201239dfd3db99ce4beb0fa0f45f560142f)
étant une constante que l’on déterminera, en assujettissant la
courbe à passer par un point donné arbitrairement sur la sphère.
Si l’on demandait que la courbe coupât tous les méridiens perpendiculairement, on devrait avoir
; l’équation (IX) se réduirait donc à
![{\displaystyle \operatorname {d} r=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea464a8ae851e771975d920e70622c425b505ba7)
d’où
![{\displaystyle r=Constante\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db24375b393c53142a4353cde67134e82864513a)
la projection de la loxodromie serait donc un cercle ayant son centre
à l’origine ; cette loxodromie serait donc elle-même un parallèle quelconque.
Si, au contraire, on supposait
l’équation (IX) deviendrait simplement
![{\displaystyle \operatorname {d} t=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fcea94173f0e9aa450cdb8731824539f2557a8)
d’où
la projection de la loxodromie serait donc une droite quelconque passant par l’origine ; cette loxodromie serait donc elle-même un
méridien quelconque.
Si, dans cette même équation (IX), on suppose
ce qui
revient à supposer que le sphéroïde se réduit au plan de l’équateur,
elle deviendra simplement
![{\displaystyle \operatorname {d} t.\operatorname {Cot} .\alpha ={\frac {\operatorname {d} r}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394661f5ad867e223affebc8c458c4e98e76058c)
d’où
![{\displaystyle A+t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3dc488f6ea79351308e0fd21fb6c93a71b7b04c)
équation de la spirale logarithmique, ainsi que cela doit être.