Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 08/Géométrie des courbes, article 7

Recherches sur une courbe nouvelle ; par M. Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 8, 1818 (p. 312-315).

Solution du problème de géométrie proposé à la
page 140 de ce volume ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Problème. À quelle courbe appartient une suite indéfinie de points tellement situés sur un même plan ; 1.^o que leurs ordonnées sont équidistantes ; 2.^o que la droite menée de l’origine à chacun d’eux, et prolongée au-delà, retranche de l’ordonnée de celui qui le suit immédiatement, à sa partie supérieure, une longueur constante ?

Solution. Soit $a$ la distance constante entre les ordonnées consécutives ; et soit $b$ la longueur, aussi constante, retranchée à chacune, à sa partie supérieure, par le prolongement de la droite menée de l’origine au point qui précède immédiatement celui auquel cette ordonnée appartient.

Concevons que, à partir de l’un quelconque, ces points aient été consécutivement numérotés $1,2,3,\ldots z-1,z\,;$ soient $\operatorname {P} _{\zeta -1},\operatorname {P} _{\zeta },$ ceux d’entre eux qui occupent respectivement les rangs $z-1$ et $z\,;$ soient $x_{\zeta -1},y_{\zeta -1},$ les coordonnées du premier ; soient $x_{\zeta },y_{\zeta },$ les coordonnées du second, l’équation de la droite menée de l’origine au point $\operatorname {P} _{\zeta -1}$ sera

$y={\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x\,;$

en conséquence, la partie de l’ordonnée de $P_{\zeta }$ interceptée entre cette droite et l’axe des $x$ sera

${\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x_{\zeta }\,;$

il faudra donc que cette longueur, augmentée de $b,$ soit égale à l’ordonnée de $P_{\zeta }\,;$ c’est-à-dire qu’on aura

${\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x_{\zeta }+b=y_{\zeta }\,;$

c’est-à-dire,

$y_{\zeta }x_{\zeta -1}-x_{\zeta }y_{\zeta -1}=bx_{\zeta -1}\,;\qquad$(1)

mais si l’on appelle $A$ l’abscisse arbitraire du point $\operatorname {P} _{0},$ on aura

$x_{\zeta -1}=A+(z-1)a,\qquad x_{\zeta }=A+za\,;$

substituant donc ces valeurs dans l’équation (1) ; elle deviendra

$\left[A+(z-1)a\right]y_{\zeta }-\left[A+za\right]y_{\zeta -1}=b\left[A+(z-1)a\right]\,;\qquad$(2)

équations aux différences du premier ordre et du premier degré.

L’intégrale de cette équation est, en désignant par $B$ l’ordonnée qui répond à l’abscisse $A$

$y=(A+za)\left\{{\tfrac {B}{A}}+b\left[{\tfrac {1}{A+za}}+{\tfrac {1}{A+(z-1)a}}+{\tfrac {1}{A+(z-2)a}}+\ldots +{\tfrac {1}{A+a}}\right]\right\}$

mais on a, $A+za=x\,;$ substituant donc, il viendra

$y=x\left\{{\frac {B}{A}}+b\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-a}}+{\frac {1}{x-2a}}+\ldots +{\frac {1}{A+a}}\right)\right\}.$

Si l’on suppose $A=a$ et $B=b,$ cette équation deviendra

$y=bx\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{2a}}+{\frac {1}{3a}}+\ldots +{\frac {1}{x}}\right).$

Un géomètre nous a adressé une solution pour le cas où la distance constante entre les ordonnées étant infiniment petite et égale à $\operatorname {d} x,$ la longueur $b$ serait aussi infiniment petite et égale à $\lambda \operatorname {d} x.$ On a dans ce cas

$y(x-\operatorname {d} x)-x(y-\operatorname {d} y)=\lambda \operatorname {d} x(x-dx)\,;$

ou en réduisant

$x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x=\lambda x\operatorname {d} x\,;$

ou encore

${\frac {x\operatorname {d} y-y\operatorname {d} x}{x^{2}}}=\operatorname {d} \left({\frac {y}{x}}\right)=\lambda {\frac {\operatorname {d} x}{x}}=\lambda \operatorname {d} .\operatorname {Log} .x\,;$

d’où

${\frac {y}{x}}=\lambda \operatorname {Log} .Cx,$

ou encore

$y=\lambda x\operatorname {Log} .Cx.$

Si l’on veut que la courbe passe par le point $(A,B),$ on aura

$B=\lambda A\operatorname {Log} .CA\,;$

ce qui donne

$C={\frac {\sqrt[{\lambda A}]{e^{B}}}{A}}\,;$

donc

$y=\lambda x\operatorname {Log} .{\frac {x}{A}}{\sqrt[{\lambda A}]{e^{B}}},$

ou bien

$y=\lambda x\left\{\operatorname {Log} .{\frac {x}{A}}+{\frac {B}{\lambda a}}\right\}.$